Physique
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Matrice d'une application linéaire
Le test comporte 6 questions :
Matrice d'une application linéaire (1)
Matrice d'une application linéaire (2)
Matrice d'une application linéaire (3)
Matrice d'une application linéaire (4)
Matrice d'une application linéaire (5)
Matrice d'une application linéaire (6)
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Matrice d'une application linéaire (1)

Soit un espace vectoriel sur , de dimension , rapporté à une base .

On définit les vecteurs et , étant un paramètre réel.

Définir les valeurs de , pour lesquelles la famille est libre ou liée.

Matrice d'une application linéaire (2)

On pose et les vecteurs et précédents correspondant à .

Montrer que est une base de .

Matrice d'une application linéaire (3)

Soit un vecteur quelconque de de coordonnées dans la base et dans la base .

Déterminer et en fonction de et .

Matrice d'une application linéaire (4)

L'espace vectoriel étant rapporté à la base , on désigne par la forme linéaire de qui, au vecteur associe le nombre :

Matrice d'une application linéaire (5)

Exprimer le noyau de .

Matrice d'une application linéaire (6)

On associe à , une nouvelle base , , définie par :

En posant , le vecteur relatif à la base , déterminer l'expression de et la matrice de dans cette nouvelle base.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Matrice d'une application linéaire (1)

Le déterminant du couple de vecteurs dans la base est :

;

  • si et , la famille de vecteurs est libre

  • si et la famille de vecteurs est liée

0
1
2
3
4
5
6
Matrice d'une application linéaire (2)

Pour la valeur de , le déterminant est différent de zéro.

La famille de 2 vecteurs étant libre, elle forme donc une base de dimension de

0
1
2
Matrice d'une application linéaire (3)

Sachant que pour nous avons et et

Un vecteur s'exprimera dans les deux bases, sous la forme :

Les coordonnées de dans la base étant unique, nous obtenons les expressions :

0
1
2
Matrice d'une application linéaire (4)

Les éléments de la matrice sont les images par des vecteurs de base , et .

Au vecteur , l'application donne :

qui par identification à :

conduit à :

et

0
1
2
Matrice d'une application linéaire (5)

Par définition de

Le noyau de est donc l'ensemble des vecteurs :

,

c'est donc le plan vectoriel .

0
1
2
3
4
Matrice d'une application linéaire (6)

Exprimons dans la base , , avec les composants , , de  :

sachant que :

d'où , et

Remarque : Le noyau de est donc le plan vectoriel .

0
1
2
3
4
Bilan
Nombre de questions :6
Score obtenu :/20
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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