Dipôles simples, notion d'impédance

Explication

Quel que soit le dipôle étudié, nous avons trouvé une relation de proportionnalité entre l'amplitude[1] de la tension et celle du courant, analogue à la loi d'Ohm en courant continu. Nous appellerons impédance[2] Z le facteur de proportionnalité :

\(U_m = Z.I_m\)

\(Z\) s'exprime en ohms \((\Omega)\).

En notation complexe :

\(\underline u(t)=U_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\varphi}\)

\(\underline i(t)=I_m\textrm{e}^{j\omega t}\)

\(\frac{\underline u(t)}{\underline i(t)}=\frac{U_m}{I_m}\textrm{e}^{j\varphi}=Z.\textrm{e}^{j\varphi}=\underline Z\)

Le nombre complexe \(\underline Z\), qui contient à la fois l'information sur les amplitudes et celles sur les déphasages, est appelé impédance complexe. On peut aussi écrire : \(\underline Z = R + j.X.R\) est la partie résistive ou résistance du dipôle, \(X\) est sa partie ou réactance[3]. Ces deux grandeurs s'expriment en ohms \((\Omega)\). On passe d'une expression à l'autre par les relations :

\(Z=\sqrt{R^2+X^2} ;\; \varphi=\textrm{Arctg}\Big(\frac{X}{R}\Big)\)

\(R =Z.\cos \varphi (R\ge 0) ;\; X = Z.\sin \varphi\)

PropriétéConducteur ohmique

D'après les calculs précédents :

\(\underline Z =Z =R;\;X=0; \;\varphi = 0\)

PropriétéBobine

Pour une bobine ;

\(Z = L.\omega;\; \varphi =\frac{\pi}{2};\;R = 0;\;X = L.\omega;\;\underline Z = jL\omega\)

PropriétéCondensateur

Pour un condensateur :

\(Z=\frac{1}{C\omega} ;\;\varphi=-\frac{\pi}{2} ;\;X=-\frac{1}{C\omega} ;\;\underline Z=\frac{1}{jC\omega}=-\frac{j}{C\omega}\)