Impédance du circuit

Durée : 10 mn

Note maximale : 7

Question

Un circuit résonant \(RLC\) série est soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante \(U = 20 \mathrm{ mV}\) et de fréquence variable. La résonance en courant est observée pour \(F_0 = 1 \mathrm{ kHz}\), et l'intensité efficace vaut alors \(I_{max} = 4 \mathrm{ mA}\). Pour \(F_1 = \mathrm{1,2 kHz}\), l'intensité efficace ne vaut plus que \(I_1 = 3 \mathrm{ mA}\).

  1. Dire si \(F_1\) appartient à la bande passante du circuit.

  2. Calculer l'impédance \(Z\) du circuit pour les deux fréquences.

  3. En déduire les valeurs de \(R\), \(L\), \(C\).

Solution

  1. Dans la bande passante :

    \(\displaystyle{ I_{max} \ge I \ge \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \mathrm{2,83 mA} }\)

    \(\displaystyle{ I_1 = \mathrm{3 mA} > \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} }\)

    \(\Rightarrow\) \(F_1\) appartient à la bande passante du circuit (2 pts)

  2. Pour \(F_0\) : \(\displaystyle{ Z_0 = \frac{U}{I_0} = 5 \mathrm{ } \Omega }\)

    Pour \(F_1\) : \(\displaystyle{ Z_1 = \frac{U}{I_1} = \mathrm{6,67 } \Omega }\) (1 pt)

  3. A la résonance, \(Z_0 = R = 5 \mathrm{ } \Omega\) (1 pt)

    Pour les autres fréquences :

    \(\displaystyle{ Z = \sqrt{R^2 + \left( L . \omega - \frac{1}{C . \omega} \right)^2} = \sqrt{R^2 + \left( \frac{L . C . \omega^2 - 1}{C . \omega} \right)^2} }\)

    Et, comme \(L . C . \omega_0^2 = 1\) à la résonance :

    \(\displaystyle{ Z = \sqrt{R^2 + \left( \frac{L.(\omega^2 - \omega_0^2)}{\omega} \right)^2 }}\)

    d'où \(\displaystyle{ L = \frac{\omega_1}{\omega_1^2 - \omega_0^2} . \sqrt{Z_1^2 - R^2} = \mathrm{1,91 mH} }\)

    et \(\displaystyle{ C = \frac{1}{L . \omega_0^2} = \mathrm{13,2 µF} }\) (3 pts)