Bande passante

Durée : 7 mn

Note maximale : 7

Question

On réalise un dipôle \(RLC\) série résonant avec un condensateur de capacité \(C = 330 \mathrm{ nF}\), et une bobine de résistance \(R = 8 \mathrm{ } \Omega\) et d'inductance \(L = 450 \mathrm{ mH}\). L'ensemble est alimenté par un générateur de tension idéal, délivrant un signal \(e(t) = E . \sqrt{2 . \cos( \omega t )}\), où \(E\) est fixée à \(1 \mathrm{ V}\) et \(\omega\) peut varier de \(10 \mathrm{ Hz}\) à \(100 \mathrm{ kHz}\).

  1. Donner l'expression de la tension \(u_B(t)\) aux bornes de la bobine en fonction de la f.é.m. \(E\) du générateur, de la pulsation \(\omega\) et des éléments du montage.

  2. Quelle est la fréquence de résonance en tension de ce montage ?

  3. Quelle est la bande passante de ce montage ?

Solution

  1. Il s'agit d'un circuit série, les tensions complexes aux bornes des dipôles sont proportionnelles aux impédances complexes :

    \(\displaystyle{ \underline{u}_B = \underline{e}(t) . \frac{\underline{Z}_B}{\underline{Z}_{RLC}} = \underline{e} (t) . \frac{R + j . L . \omega}{R + j . \left( L . \omega - \frac{1}{C . \omega} \right)} }\)

    \(\displaystyle{ u_B(t) = E . \sqrt{2} . \sqrt{\frac{R^2 + L^2 + \omega^2}{R^2 + \left( L . \omega - \frac{1}{C . \omega} \right)^2 } } . \cos (\omega t + \varphi) }\) ,

    avec \(\displaystyle{ \varphi = \arctan \left( \frac{L . \omega}{R} \right) - \arctan \left( \frac{L . \omega - \frac{1}{C . \omega} }{R} \right)}\) (2 pts)

  2. La fréquence de résonance en courant est \(\displaystyle{ F_0 = \frac{1}{2 . \pi . \sqrt{L.C} } = \mathrm{413,0 Hz} }\)

    A cette fréquence, le facteur de qualité de la bobine est \(\displaystyle{ Q = \frac{L . \omega_0}{R} \approx 146 \gg 1 }\) donc on peut confondre fréquence de résonance en tension et fréquence de résonance en courant. (2 pts)

  3. Comme \(Q \gg 1\), on peut confondre la bande passante du montage avec celle qui serait observée aux bornes d'une inductance pure \(L\)

    \(\displaystyle{ Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{F_0}{F_2 - F_1} }\) ;

    \(\displaystyle{ F_2 - F_1 = \frac{F_0}{Q} = \mathrm{2,83 Hz} }\)

    d'où \(\mathrm{410,2 Hz} \le F \le \mathrm{415,8} \mathrm{ Hz}\) (3 pts)