Tension aux bornes de la bobine

Durée : 8 mn

Note maximale : 5

Question

Un circuit \(RLC\) est formé d'un conducteur ohmique de résistance \(R_1=4 \mathrm{ } \Omega\), d'une bobine de résistance \(r = 1 \mathrm{ } \Omega\) et d'inductance \(L = \mathrm{0,8 H}\) et d'un condensateur de capacité \(C\). La différence de potentiel aux bornes de l'ensemble du circuit quand il est en résonance est : \(u(t) = 2 . \sqrt{2 . \sin ( 300 . \pi . t) }\)

  1. Quelle est la valeur de \(C\) ?

  2. Quelle est la tension aux bornes de la bobine ?

  3. Quel est le déphasage de la tension par rapport au courant dans la bobine ?

Solution

  1. A la résonance, \(L . C . \omega_0^2 = 1\), d'où :

    \(\displaystyle{ C = \frac{1}{L . \omega_0^2} = \frac{1}{L . (2 . \pi . F_0)^2} = \frac{1}{\mathrm{0,8} . (300 . \pi)^2} = \mathrm{1,8 µF}}\) (1 pt)

  2. La tension aux bornes de la bobine a pour valeur efficace :

    \(U_B = Z_B . I\) avec \(Z_B = \sqrt{r^2 + L^2 . \omega^2}\), et puisqu'on est à la résonance, \(\displaystyle{ I = \frac{V}{r+ R} = \frac{2}{4 + 1} = \mathrm{0,4 A} }\)

    donc, \(U_B = \sqrt{1^2 + (\mathrm{0,8}^2 - (300 . \pi)^2 )} = \mathrm{301,6 V}\) , très peu différent de \(L . \omega_0 . I\) car \(r \ll L\) (2 pts)

  3. Le déphasage entre tension et courant, pour une bobine de résistance \(r\) et d'inductance \(L\), est : \(\displaystyle{ \varphi = \arctan \left( \frac{L . \omega}{r} \right) }\)

    donc : \(\displaystyle{ \varphi = \arctan \left( \frac{\mathrm{0,8} . 300 . \pi}{1} \right) = \mathrm{89,92°}}\)

    \(\varphi\) est très voisin de \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\) (2 pts)