Détermination des éléments d'un circuit
Partie
Question
Un circuit résonant \(RLC\) série a pour fréquence de résonance\(\displaystyle{F_0 = 15 \textrm{ kHz}}\) et pour facteur de sélectivité \(\displaystyle{Q = 150}\). A la résonance, la tension aux bornes vaut \(\displaystyle{2,5 \textrm{ V}}\) et l'intensité du courant \(\displaystyle{500 \textrm{ mA}}\).
Calculer les valeurs de \(R, L, C\).
Aide simple
Utiliser les expressions de l'impédance, puis de la sélectivité
Aide détaillée
Utiliser les expressions de l'impédance :
\(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+\big(L\omega-\frac{1}{C\omega}\big)^2}}\)
puis de la sélectivité \(Q\) en fonction des valeurs de \(R, L, C\) : \(\displaystyle{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
Rappel de cours
Résonance en courant :
Fréquence de résonance
Bande passante, sélectivité
Solution simple
\(\displaystyle{R = 5\;\Omega ; L = 7.96 \textrm{ mH} ; C = 1.33\; \mu\textrm{F}}\)
Solution détaillée
Expression de l'impédance du dipôle équivalent :
\(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+\big(L\omega-\frac{1}{C\omega}\big)^2}}\)
à la résonance, les éléments qui composent le dipôle \(RLC\) vérifient la relation :
\(\displaystyle{L\omega-\frac{1}{C\omega}=0\iff LC\omega^2=1\iff\omega=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\)
l'impédance du dipôle passe par la valeur minimum \(Z = R\) ; l'intensité est donc maximale et a pour amplitude \(\displaystyle{I_{\textrm{max}}=\frac{U_m}{R}}\) , \(U_m\) est l'amplitude de la tension aux bornes du dipôle. D'où :
\(\displaystyle{R =\frac{U_m}{I_{max}} = 5 \;\Omega}\)
Expression de la sélectivité \(Q\) en fonction des valeurs de \(R, L, C\) : \(\displaystyle{C=\frac{1}{L\omega_0^2}=\frac{1}{L.4\pi^2F_0^2}}\)
\(\displaystyle{\Rightarrow L = C.(Q.R)^2\;(1)}\)
Fréquence de résonance : \(\displaystyle{F_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}\)
\(\displaystyle{\Rightarrow C = \frac{1}{L.(2\pi F_0)^2}\;(2)}\)
En reportant \((2)\) dans \((1)\) , il vient :
\(\displaystyle{L =\frac{Q.R}{2\pi F_0} = 7.96 \textrm{ mH}}\)
qui, reporté dans \((2)\) , donne :
\(\displaystyle{C = 1,33 \mu\textrm{F}}\)