Variation d'impédance

Partie

Question

Un circuit résonant \(RLC\) série est soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante \(\displaystyle{U = 200 \textrm{ mV}}\) et de fréquence variable. La résonance en courant est observée pour \(\displaystyle{F_0 = 10 \textrm{ KHz}}\) , et l'intensité efficace vaut alors \(\displaystyle{I_{\textrm{max}} = 20 \textrm{mA}}\). Pour \(\displaystyle{F_1 = 9 \textrm{ KHz}}\) , l'intensité efficace ne vaut plus que \(\displaystyle{ I_1 = 10 \textrm{ mA}}\)

  1. Dire si \(F_1\) appartient à la bande passante du circuit.

  2. Calculer l'impédance \(Z\) du circuit pour les deux fréquences.

  3. En déduire les valeurs de\(R, L, C\)

Aide simple

Question 1 : \(\displaystyle{\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Question 2 :

utiliser la relation entre les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité, et l'impédance \(Z\).

Question 3 :

Utiliser l'expression de \(Z\) en fonction des éléments et de la fréquence (voir par exemple le paragraphe " bande passante ")

Aide détaillée

Question 1 :

La bande passante est l'ensemble des fréquences pour lesquelles \(\displaystyle{I_{\textrm{max}}\ge I\ge \frac{I_{\textrm{max}}}{\sqrt{2}}}\)

Question 2 : utiliser la relation entre les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité, et l'impédance \(Z\):\(\displaystyle{U = Z.I}\)

Question 3 :

Utiliser l'expression de \(Z\) en fonction des éléments et de la fréquence :

\(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+\big(L\omega-\frac{1}{C\omega}\big)^2}}\)

et se rappeler qu'à la résonance : \(\displaystyle{L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}}\)

Solution simple

\(F_{1}\) est en dehors de la bande passante

\(Z_{0} = 10 \Omega\);\(Z_{1} = 20 \Omega\)

\(R=10\Omega\);\(L = 8,2 \textrm{mH}\);\(C=0,31 \mu\textrm{F}\).

Solution détaillée

[1] La bande passante est l'ensemble des fréquences pour lesquelles \(\displaystyle{I_{\textrm{max}}\ge I \ge \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} . I_1}\) a une valeur plus petite que celle de la limite inférieure.

[2] Par définition,\(\displaystyle{Z=\frac{U}{I}}\) ; d'où : \(\displaystyle{Z_0 = 10 \;\Omega ; Z_1 = 20 \;\Omega}\)

[3] L'impédance d'un circuit \(RLC\) série a pour expression : \(\displaystyle{Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}}\) qui se réduit à \(Z = R\) à la résonance. D'où \(R = Z_0 = 10 \;\Omega\)

A la fréquence \(\displaystyle{F_1, Z_1 = 2R}\) donc, ce qui implique\(\displaystyle{\big(L\omega-\frac{1}{C\omega}\big)^2=3R^2}\) puisque\(\displaystyle{F_1 < F_0}\) , on a donc : \(\displaystyle{\frac{1}{C\omega_1}-L\omega_1=R\sqrt{3}}.\)

Comme, à la résonance \(\displaystyle{LC\omega_0^2=1}\), on peut éliminer \(C\) en utilisant la relation \(\displaystyle{C=\frac{1}{L\omega_0^2}}\), ce qui conduit à :

\(\displaystyle{L\frac{\omega_0^2-\omega_1^2}{\omega_0}=R\sqrt{3}\iff L=R\sqrt{3}\frac{\omega_1}{\omega_0^2-\omega_1^2}\Rightarrow L=8,2\textrm{ mH}}\)

et par la suite à :

\(\displaystyle{C=\frac{1}{L\omega_0^2}\Rightarrow X=0,31\;\mu\textrm{F}}.\)