Circuit RC
Partie
Question
Un conducteur ohmique de résistance \(R = 100 \Omega\) et un condensateur de capacité \(C\) sont associé en série et parcourus par un courant sinusoïdal de fréquence \(3\textrm{ kHz}\) et d'amplitude \(50 \textrm{ mA }\). L'amplitude de la tension aux bornes de l'ensemble est \(U_m = 10 V\)
Calculer la valeur du déphasage. Calculer la valeur de \(C\).
Aide simple
\(\displaystyle{\underline Z=R+\frac{1}{jC\omega}=R-\frac{j}{C\omega}=Z.\textrm e^{j\varphi}}\)
Aide détaillée
\(\displaystyle{\frac{\underline u(t)}{\underline i(t)}=\frac{U_m}{I_m}.\textrm e^{j\varphi}=Z.\textrm e^{j\varphi}=\underline Z}\)
Aide méthodologique
Loi d'Ohm en régime sinusoïdal.
Solution simple
\(\displaystyle{\varphi = -\frac{\pi}{3};\; C = 31 \;\mu\textrm{F}\; ( 31.10^{-6} F)}\)
Solution détaillée
Puisque \(\displaystyle{\frac{\underline u(t)}{\underline i(t)}=\frac{U_m}{I_m}.\textrm e^{j\varphi}=Z.\textrm e^{j\varphi}=\underline Z}\) , \(Z=\frac{U_m}{I_m}=200\;\Omega\)
Comme : \(\displaystyle{\underline Z = R + j.X = \textrm e^{j\varphi} ,\textrm{ et que }\textrm e^{j\varphi} = \cos \varphi + j.\sin \varphi,\textrm{ on a }R = Z.\cos \varphi}\)
D'où : \(\displaystyle{\cos\varphi=\frac{R}{Z}=0,5\;\Rightarrow\;\varphi=\frac{-\pi}{3}}\) .On a aussi \(\displaystyle{X=Z.\sin\varphi=-\frac{1}{C\omega}}\) ;
d'où : \(C=-\frac{1}{\omega.Z.\sin\varphi}=31\mu\textrm F\; ( 31.10^{-6} F)\)