Physique
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Approche analytique

Mathématiquement, l'équation précédente est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale :

En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique, il vient :

, , et .

L'expression de la solution générale se déduit de la résolution de l'équation , que l'on suppose connue. On rappelle que le discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle s'écrit .

On pose habituellement et , soit ici . On constate que est toujours négatif.

Cette résolution montre que s'écrit sous l'une des trois formes équivalentes suivantes :

On constate que dépend de deux constantes , ou . Il faut se donner deux relations pour les déterminer. La réponse est alors unique.

Dans un problème physique, ces deux relations décrivent l'état initial du système, elles sont appelées conditions initiales ; elles s'écrivent, à  :

et

La réponse est harmonique. On retrouve la définition de l'oscillateur harmonique donné dans l'introduction.

et représentent respectivement l'amplitude et la phase initiale de la loi de période propre . Au point de vue des unités, s'exprime avec la même unité que  ; et s'expriment respectivement en radian et en seconde.

Réponse d'un oscillateur harmonique de pulsation propre w0
Relation entre les constantes
Propriété de l'oscillateur harmonique
Légende :
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S'exercer
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