Physique
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Annexe : démonstration des relations
Démonstration : Annexe : démonstration des relations

Les équations de Maxwell s'écrivent, respectivement, en un point où il y a :

et

Le théorème d'Ostrogradski permet d'exprimer le flux à travers la surface fermée constituée de qui délimite le volume intérieur :

En exprimant ce flux à travers comme somme des flux à travers et

On considère les contours et situés infiniment près du contour (appartenant au plan ), donc se confondant avec lui mais se trouvant respectivement dans les régions et et orientés respectivement par les normales et .

Choisissant (par exemple) l'orientation de identique à celle de , on applique à et le Théorème de Stockes, en remarquant que :

et

La relation (5) donne alors : , soit :

Cette relation étant valable quel que soit le contour choisi dans le dioptre de séparation des deux milieux, on a donc :

En exprimant que [à partir des relations et ] , on montre de la même façon que :

Continuité des composantes normales de et de :

et

On considère la surface fermée constituée de 2 couvercles et , parallèles à , situés respectivement dans les milieux 1 et 2, et de la surface cylindrique s'appuyant sur ces couvercles. De plus, ces deux couvercles sont infiniment près de , et de surface suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que la surface délimitée sur par la surface latérale est telle que : .

Le théorème d' Ostrogradski appliqué à cette surface fermée , qui délimite un volume intérieur donne alors, en utilisant la relation :

La hauteur de la surface latérale étant infiniment petite, le flux de à travers cette surface latérale est négligeable par rapport aux flux respectifs à travers et .

Les normales étant orientées vers l'extérieur de la surface fermée, et les surfaces étant parallèles à , on a :

et

soit :

On montre de même [en utilisant la relation ] :

Légende :
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