Vibrations d'une corde Pincée
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La corde représentée ici est fixée en ses extrémités, en \(z=0\) et \(z=L\). Elle est pincée puis lachée à l'instant initial (avec une vitesse initiale nulle pour chacun de ses points).
Pour déterminer la vibration \(Y(z,t)\) d'un point \(z\) à l'instant \(t\), il est nécessaire de pouvoir représenter cette forme initiale sur la base de formes de type sinus ou cosinus (selon les conditions aux limites en \(z=0\) et \(z=L\)).
On définit pour ce faire un prolongement périodique de la forme de la corde : le prolongement considéré sera alors représentable par sa série de Fourier.
La condition qui définit (et que doit satisfaire) ce prolongement est que chacun des harmoniques du prolongement périodique doit satisfaire les mêmes conditions aux limites (en \(z=0\) et \(z=L\)) que celles imposées à la corde. Chaque harmonique est un mode propre de vibration.
Si les conditions aux limites ne sont pas satisfaites, le prolongement ne permettra pas de représenter la vibration de la corde.
Dans tous les cas, ceux sont conditions aux limites qui déterminent les modes propres.
Ce résultat est vrai également dans le cas d'un système masses-ressorts (ou d'une corde plombée)
L'animation représente :
- les 3 premiers harmoniques du prolongement périodique de la corde,
- la vibration de chacun des harmoniques et
- la vibration résultante de la corde, obtenue comme combinaison linéaire des vibrations de l'ensemble des harmoniques.