Représentations en fréquence

Il n'est pas question de donner ici une démonstration de ces théorèmes.

Il est toutefois indispensable de les connaître pour définir le domaine de validité de la décomposition en Série de Fourier d'une fonction périodique, et pour saisir cette caractéristique essentielle des fonctions exponentielles imaginaires, qui est de constituer une base orthonormée pour l'espace des fonctions périodiques.

On peut alors rapprocher cette décomposition en série de Fourier, de l'expression qui a été trouvée précédemment pour décrire l'état vibratoire quelconque d'un système sur la base de ses modes propres.

Reprenons les expressions de \(\psi(z,t)\) et l'expression de \(\psi(z,0)\) données respectivement au § B.2.b et au § B.2.h .

On voit que \(\psi(z,0)\) s'exprime sous une forme analogue à la série de Fourier d'une fonction périodique... la seule différence (de taille !) étant que la variable \(z\) intervenant dans \(\psi(z,0)\) n'est pas définie \(\forall z\) réel, mais seulement pour \(z \in [0,L]\).

Si donc on considère une fonction \(F(z)\) périodique, définie \(\forall z\) réel, dont \(\psi(z,0)\) est la restriction sur l'intervalle \([0,L]\), alors on peut définir les coefficients \(b_p\) de l'expression :

\(\displaystyle{\psi(z,0) = \sum_{k = - \infty}^{k = + \infty}} b_{p} . \sin (K_{p} .z)\)

qui représente le système dans son état initial, en calculant ces coefficients comme coefficients de Fourier de la fonction \(F\) périodique.

Ce calcul est développé dans la partie "Application" de ce chapitre.

Pour le système des \(N\) masses : l'état vibratoire est solution du système : \(\ddot \psi = U . \psi\)

• La technique de résolution consiste à déterminer valeurs propres et vecteurs propres de \(U\).

• L'ensemble des vecteurs propres constitue une base pour l'espace de représentation du système : chaque vecteur propre fournit un ensemble de rapports d'amplitude pour les différents éléments du système (rapports qui sont caractéristiques du mode).

• Les fonctions de type exponentielle complexe représentent les modes de vibrations.

• La vibration générale s'exprime comme combinaison linéaire des modes propres.

Pour la corde continue : l'équation de vibration-propagation (§ B.2.c) a des solutions qui s'expriment encore comme combinaison linéaire des modes propres.

• Les fréquences des harmoniques successifs sont cette fois multiples de la fréquence d'un terme (le fondamental), de sorte que la vibration générale est périodique.

• Dans ces conditions, le formalisme de Fourier permet de comprendre cette décomposition sur les modes propres, comme décomposition sur des vecteurs de base d'un espace vectoriel (préhilbertien).

• Dans cet espace vectoriel de représentation, les fonctions exponentielles forment une base.

• La définition d'un produit scalaire particulier (forme hermitienne, définie et positive) permet les opérations usuelles de décomposition sur une base.

• La vibration périodique la plus générale peut s'exprimer sur la base des fonctions exponentielles.

• Dans le cas de fonctions réelles, la vibration périodique la plus générale peut s'exprimer sur la base des fonctions sinus et cosinus.