Question 1
Énoncé
On donne la capacité calorifique molaire à pression constante du difluore F2 gazeux : CP = 31,3 J.mol-1.K-1.
Donner la valeur de la capacité calorifique molaire à volume constant CV de cette espèce chimique en J.mol-1.K-1.
Donnée : R = 8,314 J.mol-1.K-1
Aide simple :
On suppose que le difluore se comporte comme un gaz parfait (équation d'état des gaz parfaits PV=nRT).
Les définitions des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constants et votre cours devraient vous conduire à la solution.
Rappel de cours :
Les définitions des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constants permettent d'écrire :
\(C_P - C_V = \frac{1}{n} \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P - \frac{1}{n} \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V\)
La dérivée partielle de l'enthalpie (H = U + P V) par rapport à T à pression constante conduit à :
\(\left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_P + \left( \frac{\partial (PV)}{\partial T} \right)_P = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_P + P\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P\)
En reportant ce résultat dans la première relation, on obtient :
\(C_P - C_V = \frac{1}{n} \biggl [ \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_P + P\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P - \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \bigg]\)
Comme U, fonction d'état, varie en fonction du volume et de la température selon :
\(dU = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T dV + \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V dT\) on peut écrire \(\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_P = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P + \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V\)
En reportant ce résultat dans l'expression de la différence CP - CV , il vient : \(C_P - C_V =\frac{1}{n} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P \bigg[\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T + P \bigg]\)
L'énergie interne U d'un gaz parfait ne dépend que de la température (loi de Joule). On peut donc écrire :\( \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T\)= 0
D'autre part, on peut, à partir de l'équation d'état des gaz parfaits : PV=nRT, calculer la dérivée partielle de V par rapport à T à pression constante :
\(\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \left( \frac{\partial \frac{nRT}{P}}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}\)
En reportant ces 2 caractéristiques des gaz parfaits, on aboutit à la relation recherchée : CP - CV = R
Résultat
Correction
Explications
En réarrangeant la formule obtenue dans l'aide méthodologique, on obtient CV = CP - R
L'application de cette formule au difluore conduit à : CV = 31,3 - 8,3 = 23,0 J.mol-1.K-1.
Remarque : 2 chiffres significatifs ont été retenus pour exprimer la constante des gaz parfaits car CP n'est connu qu'à 0,1 J.mol-1.K-1 près. Le résultat final peut donc être exprimé avec 3 chiffres significatifs. Celui des dixièmes est un 0.