Question 2
Énoncé
Entre 298 K et 1235 K, la capacité calorifique molaire à pression constante CP de l'argent solide est donnée par :
\(C_P = 21,30 + 8,54.10^{-3} T + \frac{1,51.10^5}{T^2}\)
où T est en kelvin (K) et CP en J.mol-1.K-1.
Soit Q la quantité de chaleur nécessaire pour augmenter, à pression constante, la température de n mol d'argent de 300 à 800 K
Déterminer l'erreur relative que l'on commettrait sur la détermination de Q si l'on utilisait le premier terme CP = 21,30 J.mol-1.K-1 au lieu de la formule complète. Exprimer cette erreur relative en %.
Aide simple :
L'erreur relative est le rapport \(\frac{Q_{\textrm{exacte}} - Q_{\textrm{approchée}}}{Q_{\textrm{exacte}}}\)
où apparaissent la quantité de chaleur exacte et la quantité de chaleur approchée échangées.
Rappel de cours :
La quantité de chaleur qu'il faut fournir pour augmenter la température d'un corps pur à pression constante s'obtient en intégrant dH = nCPdT.
Résultat
Correction
Explications
On détermine les valeurs des chaleurs échangées à pression constante en intégrant \(\delta Q_P = dH = nC_PdT\)
La valeur exacte de CP conduit à :\( Q_{exacte} =n \displaystyle \int_{300K}^{800K} (21,30 + 8,54.10^{-3} T + \frac{1,51.10^5}{T^2}) dT\)
\(= n\bigg[ 21,30T + \frac{8,54.10^{-3}}{2}T^2 - 1,51.10^5 \frac{1}{T} \bigg]_{300K}^{800K}\)
\(= n \bigg[ 21,30(800 - 300) + \frac{8,54.10^{-3}}{2}(800^2 - 300^2) - 1,51.10^5 \left( \frac{1}{800}- \frac{1}{300} \right) \bigg]\)
\(= 13313,1 \times n\)
Avec le 1er terme de l'expression de CP, on obtient : \(Q_{\textrm{approchée}} = n \displaystyle \int_{300K}^{800K} 21,30 dT = n \times 21,30 \times (800 - 300) = 10650 \times n\)
D'où l'incertitude relative (n se simplifie entre le numérateur et le dénominateur) :
\(\frac{Q_{\textrm{exacte}} - Q_{\textrm{approchée}}}{Q_{\textrm{exacte}}} = \frac{13313,1 - 10650}{13313,1}\)= 20%