Question 1
Énoncé
On réalise la réaction d'isomérisation :
(Z)-but-2-ène (g) \(\rightarrow\) (E)-but-2-ène (g) (1)
à 298 K et sous 1 bar.
Quelle quantité de l'isomère E, nE, équil, exprimée avec l'unité de quantité de matière du S. I., obtiendra-t-on à l'équilibre si l'on part de 3 mol de but-2-ène ?
Données : Enthalpie libre molaire standard de (1) : \(\Delta_rG°_{298 K}\) = 3,06 kJ.mol-1.
R = 8,314 J.mol-1.K-1.
Aide simple :
Si l'équilibre est réalisé à 298 K, alors l'enthalpie libre molaire (et non l'enthalpie libre molaire standard \(\Delta_rG°_{298 K}\) ) de la réaction est nulle : \(\Delta_rG_{298 K}\) = 0.
Rappel de cours :
Lorsque l'équilibre est réalisé à 298 K, l'enthalpie libre molaire : \(\Delta_rG_{298 K} = \Delta_rG°_{298 K} + R T ln Q\) est nulle et Q (quotient réactionnel) prend une valeur particulière appelée constante d'équilibre K :
\(0 = \Delta_rG°_{298 K} + R T ln K\)
K s'exprime en fonction des valeurs des activités des espèces à l'équilibre : ai, équil..
Résultat
Correction
Explications
La condition d'équilibre à T = 298 K permet d'écrire :
\(\Delta_rG_{298 K}\) = 0 et \(0 = \Delta_rG°_{298 K} + R T ln K\) avec \(K = \displaystyle \prod_i a_{i, equil}^{\nu_i}\).
L'indice équil. indique qu'il s'agit de l'activité de l'espèce i dans l'état d'équilibre.
Le coefficient stoechiométrique \(\nu_i\) est positif pour un produit, négatif pour un réactif.
Pour la réaction étudiée :\( K= \frac{a_{E, equil.}}{a_{Z, equil.}}\)
On obtient l'activité des isomères E et Z à l'équilibre en suivant la démarche suivante :
\(a_{i, equil.}= \frac{P_{i, equil.}}{P°}= \frac{x_{i, equil.} \times P}{P°} = \frac{\frac{n_{i, equil}}{n_T}P°}{P°} = \frac{n_{i, equil}}{n_T}\)
D'où une relation simple entre les quantités d'isomère à l'équilibre :
\(0 = \Delta_rG°_{298 K} + R T ln \frac{n_{E, equil}}{n_{Z, equil.}} \Leftrightarrow \frac{n_{E, equil}}{n_{Z, equil.}}= e^{-\frac{\Delta_rG°_{298K}}{RT}}\)
Il existe une seconde relation entre ces quantités de matière : \(n_{E, equil} +n_{Z, equil.}\) = 3 mol
En éliminant \(n_{Z, equil.}\) entre ces 2 relations, on obtient :
\(\frac{n_{E, equil}}{3 - n_{E, equil}} = e^{-\frac{\Delta_rG°}{RT}}\)
D'où : \(n_{E, equil} =\frac{3 \times e^{-\frac{3060}{8,314 \times 298}}}{1 + e^{-\frac{3060}{8,314 \times 298}} }\)= 0,676 mol.