Question 2
Énoncé
A 500 K, la constante d'équilibre K de la réaction de synthèse de l'éthanol à partir d'éthylène et d'eau en phase gazeuse selon :
C2H4 (g) + H2O (g) \(\rightarrow\) C2H5OH (g)
est égale à 0,197. On met en présence 1 mol d'éthylène et 1 mol d'eau sous une pression constante de 40 bar.
Donner la valeur de l'avancement de réaction (\(\xi_{equil.}\), en mol) lorsque l'équilibre est réalisé. On supposera les gaz parfaits.
Donnée : P° = 1 bar.
Aide simple :
Il est possible d'expliciter la valeur de la constante d'équilibre K au moyen des valeurs qu'ont, à l'équilibre, les activités des espèces chimiques en présence.
Rappel de cours :
Les expressions successives de l'activité d'un gaz parfait font apparaître :
la pression partielle et la pression standard P° ;
la fraction molaire, la pression P et la pression standard P° ;
la quantité de gaz, la quantité totale de gaz, la pression P et la pression standard P° ;
l'avancement, la pression P et la pression standard P°.
Résultat
Correction
Explications
L'activité ai du constituant i d'un mélange gazeux peut s'exprimer en définitive au moyen de sa quantité de matière ni, de la quantité de matière totale nT, de la pression P et de la pression standard P° :
\(a_i = \frac{P_i}{P°} = \frac{x_i P}{P°} = \frac{\frac{n_i}{n_T}P}{P°}\)
La définition de l'avancement à l'équilibre permet d'exprimer les quantités de chacun des gaz à l'équilibre, ainsi que la quantité totale de gaz à l'équilibre en fonction de ce paramètre :
\(\xi_{equil.}= \frac{n_{C_2H_5OH, equil.} - 0}{1} = \frac{n_{C_2H_4, equil.} - 1}{-1} = \frac{n_{H_2O, equil.} - 1}{-1}\)
D'où :
\(n_{C_2H_5OH, equil.} = \xi_{equil.}\)
\(n_{C_2H_4, equil.} = n_{H_2O, equil.} = 1 - \xi_{equil.}\)
\(n_T = n_{C_2H_5OH, equil.} + n_{C_2H_4, equil.} + n_{H_2O, equil.} = 2 - \xi_{equil.}\)
La constante d'équilibre K et ces résultats conduisent à :
\(K = \frac{a_{C_2H_5OH, equil.} }{a_{C_2H_4, equil.} \times a_{H_2O, equil.}}\)
\(= \frac{n_{C_2H_5OH, equil.} \times n_T}{n_{C_2H_4, equil.} \times n_{H_2O, equil.}} \times \frac{P°}{P}\)
\(= \frac{\xi_{equil.} \times (2 - \xi_{equil.})}{(1 - \xi_{equil.})^2} \times \frac{P°}{P}\)
et à l'équation du second degré suivante :
\(\left( \frac{KP}{P°} - 1\right) \xi_{equil.}^2 + 2 \left( \frac{KP}{P°} + 1\right) \xi_{equil.} - \frac{KP}{P°}\) = 0
A. N. : \(\frac{KP}{P°} = \frac{0,197 \times 40}{1}\) = 7,88
\(6,88 \xi_{equil.}^2 + 17,76 \xi_{equil.} - 7,88\) = 0
\(\xi_{equil.} = \frac{-17,76 +\sqrt{17,76^2 + 4 \times 6,88 \times 7,88}}{2 \times 6,88}\) = 0,386 mol.
La racine négative n'est pas retenue car elle n'a pas de sens physique.