Question 4
Énoncé
D'une importance capitale dans l'industrie, la réaction de conversion du méthane CH4 (gaz naturel) en dihydrogène H2 s'effectue en présence d'un catalyseur, le nickel par exemple, selon l'équation de réaction suivante :
CH4 (g) + H2O (g) = 3 H2 (g) + CO (g)
A 1073 K, la constante d'équilibre K de cette réaction est égale à 14,83.
Dans un réacteur initialement vide de volume constant égal à 0,1 m3, on introduit 1 mole de CH4 (g) et 1 mole de vapeur d'eau. La température du réacteur est maintenue à 1073 K.
Déterminer la valeur de l'avancement de cette réaction à l'équilibre (en mol).
Données : P° = 1 bar = 105 Pa ; R = 8,314 J.mol-1.K-1.
Aide simple :
La constante d'équilibre conduit généralement à une équation dans laquelle ne figure plus qu'une seule inconnue : \(\xi_{equil.}\). Il faut ensuite résoudre cette équation.
Rappel de cours :
L'équation d'état d'un gaz parfait PT V = nT R T s'applique à un mélange gazeux : V est le volume offert au gaz ; nT est la quantité totale de gaz ; PT est la pression "totale" exercée par ce gaz (il s'agit de la somme des pressions partielles) ; R et T ont les significations habituelles.
Résultat
Correction
Explications
Les écritures successives de la constante d'équilibre de la réaction de conversion du méthane conduisent à une expression où figurent les quantités de matières, la température, le volume et la constante des gaz parfaits :
\(K = \frac{a_{H_2, equil.}^3 \times a_{CO, equil.}}{a_{CH_4, equil.} \times a_{H_2O, equil.}}\)
\(= \frac{\left( \frac{P_{H_2,equil.}}{P°} \right)^3 \times \frac{P_{CO, equil.}}{P°}}{ \frac{P_{CH_4, equil.}}{P°} \times \frac{P_{H_2O, equil.}}{P°}}\)
\(=\frac{x_{H_2,equil.}^3 \times x_{CO,equil.}}{x_{CH_4,equil.} \times x_{H_2O,equil.}} \times \left( \frac{P_{T,equil.}}{P°} \right)^2\)
\(=\frac{n_{H_2,equil.}^3 \times n_{CO,equil.}}{n_{CH_4,equil.} \times n_{H_2O,equil.}} \times \frac{1}{n_{T,equil.}^2} \times \left( \frac{P_{T,equil.}}{P°} \right)^2\)
\(=\frac{n_{H_2,equil.}^3 \times n_{CO,equil.}}{n_{CH_4,equil.} \times n_{H_2O,equil.}} \times \left( \frac{RT}{VP°} \right)^2\)
Les quantités de matière à l'équilibre peuvent s'exprimer en fonction de l'avancement à l'équilibre :
\(\xi_{equil.} = \frac{n_{CH_4, equil.} - 1}{-1} = \frac{n_{H_2O, equil.} - 1}{-1} = \frac{n_{H_2, equil.} - 0}{3} = \frac{n_{CO, equil.} - 0}{1}\)
\(n_{CH_4, equil.} = n_{H_2O, equil.} = 1 - \xi_{equil.}\)
\(n_{CO, equil.} = \xi_{equil.}\)
\(n_{H_2, equil.} = 3 \times \xi_{equil.}\)
Le report dans la dernière expression de K conduit à : \(K = \frac{3^3 \times \xi_{equil.}^4}{(1 - \xi_{equil.})^2} \times \left( \frac{RT}{VP°} \right)^2\)
En prenant la racine carré des 2 membres et en réarrangeant, il vient :
\(\frac{\xi_{equil.}^2}{1 - \xi_{equil.}} = \sqrt{\frac{K}{27}} \times \frac{VP°}{RT} = K' \Leftrightarrow \xi_{equil.}^2 + K' \xi_{equil.} - K' = 0\)
A. N. : \(K' = \sqrt{\frac{14,83}{27}} \times \frac{0,1 \times 10^5}{8,314 \times 1073}\) = 0,831
\(\xi_{equil.} = \frac{-0,831 +\sqrt{0,831^2 + 4 \times 1 \times 1}}{2}\)= 0,667 mol
Seule cette racine positive de l'équation du second degré a un sens physique.