La méthode Monte Carlo

La mécanique statistique a pour but de prédire les propriétés macroscopiques d'un système sur la base des propriétés individuelles de ses constituants microscopiques ou (micro-états). La valeur observable (macroscopique) d'un ensemble est en fait la moyenne des valeurs microscopiques individuelles. Les structures les plus stables, donc les plus probables contribuent bien évidement le plus à cette moyenne.

Ceci peut être illustré par l'exemple suivant. Considérons 4 jetons ayant chacun une face blanche et une face noire. Si nous jouons à pile (face noire) ou face (face blanche) avec chacun des jetons, on peut retrouver les probabilités de chaque type de tirage, telles qu'elles sont décrites dans l'animation suivante :

Dans un langage statistique, on dira qu'il y a 16 état microscopiques (micro-états) différents. Si je ne considère que les propriétés observables générales, j'ai une chance sur seize d'obtenir quatre faces noires (ou quatre faces blanches), quatre chances sur seize d'obtenir un noir et trois blancs (ou un blanc et trois noirs) et six chances sur seize d'avoir deux noirs et deux blancs. La valeur observable la plus probable sera donc d'avoir deux noirs et deux blancs, indépendamment de l'ordre des jetons qui ont contribué à ce tirage.

Cet exemple illustre le fait que la propriété macroscopique la plus probable résulte de la somme des états microscopiques possibles. Attention cela ne veux en aucun cas dire qu'il n'y a qu'une seule possibilité (les autres distributions noirs/blanc sont aussi possibles, juste moins probables). Dans notre exemple, le tirage des pièces est dit ergodique. En effet, l'hypothèse ergodique spécifie que si j'effectue un nombre de tirages suffisamment grand, la propriété moyenne que je vais obtenir sera la même que celle que j'obtiendrai en observant un système réél.

Ce concept est illustré dans l'animation suivante, dans laquelle on peut effectuer un grand nombre de tirages de 6 jetons. Le type de tirage le plus souvent trouvé correspond en effet à la propriété moyenne de ce type de système.

Il s'agit maintenant de faire entrer le concept d'énergie dans ce raisonnement et aussi de laisser au système la possibilité échantillonner des états moins probables. Ces états sont certes rares, mais interviennent néanmoins dans la statistique de n'importe quel système, si sa température n'est pas nulle.