Exemple
Exemple : Une particule se déplaçant sur un cercle
Considérons une particule se déplaçant sur un cercle et décrite par la fonction \(\mathrm{f(\varphi)=2^{1/2}.\cos(\alpha.\varphi)}\) où \(\phi\) est l'angle de rotation compris entre 0 et \(2.\pi\). Calculons la valeur moyenne de l'opérateur :
\(\mathbf{\hat G=-\textrm i.\hbar.\frac{\partial}{\partial\varphi}}\)
On écrit :
\(\sqrt2.\cos(\alpha.\varphi)=\frac{\sqrt2}{2}.\exp(\textrm i.\alpha.\varphi)+\frac{\sqrt2}{2}.\exp(-\textrm i.\alpha.\varphi)\)
Les fonctions \(\exp(\textrm i.\alpha.\varphi)\) et \(\exp(-\textrm i.\alpha.\varphi)\) sont fonctions propres de l'opérateur \(\mathrm{\hat G}\) de valeurs propres \(\alpha.\hbar\) et \(-\alpha.\hbar\) respectivement.
La valeur moyenne de \(\textrm G\) est donc :
\(\langle G\rangle=\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)^2.\alpha.\hbar-\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)^2.\alpha.\hbar=0\)
Il y a équiprobabilité des deux états propres dans \(f(\varphi)\) et en moyenne la quantité de mouvement est nulle.