L'expression de la constante de Rydberg
L'expression des niveaux d'énergie est :
\(\mathbf{E_n=-\frac{\textrm m_\textrm e.\textrm e^4}{(4.\pi.\epsilon_0.\hbar)^2}.\frac{Z^2}{2.n^2}}\)
La différence d'énergie entre deux niveaux \(\mathrm{E_n}\) et \(\mathrm{E_m}\) s'écrit :
\(\mathbf{\Delta E=E_n-E_m=\frac{\textrm m_\textrm e.\textrm e^4}{2.(4.\pi.\epsilon_0.\hbar)^2}.Z^2.\Big(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\Big)}\)
L'absorption ou l'émission d'un photon permet la transition entre ces deux niveaux. Le nombre d'onde du photon est alors :
\(\mathbf{\overline\nu=\frac{1}{\lambda}=\frac{\Delta E}{\textrm{h.c}}=\textrm R_\textrm H.Z^2.\Big(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\Big)}\)
où \(\textrm R_\textrm H\) est la constante de Rydberg. Cette constante est alors reliée aux constantes fondamentales par :
\(\mathbf{\textrm R_\textrm H=\frac{\textrm m_\textrm e.\textrm e^4}{8.\textrm c.\textrm h^3.\epsilon_0^2}}\)
Remarque :
On a utilisé ci-dessus la masse \(\textrm m_\textrm e\) de l'électron et non pas la masse réduite \(\mu\) de l'atome. La valeur calculée ainsi s'écarte très légèrement de la valeur expérimentale.
Application numérique pour l'hydrogène :
\(\textrm R_\textrm H\) calculée avec \(\textrm m_\textrm e\) : \(\textrm{1,097373}.10^{+7} \textrm m^{-1}\)
\(\textrm R_\textrm H\) expérimentale (calculable avec \(\mu\)) : \(\textrm{1,096771}.10^{+7} \textrm m^{-1}\)