Densité volumique pour l'orbitale 2pz
Durée : 15 mn
Note maximale : 5
Question
L'orbitale\(2\textrm{pz}\)d'un atome hydrogénoïde est la fonction :
\(\Psi_{2p_{s}}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3/2} \frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\exp(-Z~r/2\textrm{a}_{0})\cos\theta\)
Calculez, pour l'hydrogène, la densité volumique de probabilité de présence en\(\AA^{-3}\)et en\(\textrm{Bohr}^{-3}\)pour :
\(r = 0\) ,
\(r =\textrm{a}_{0}\)et\(\theta = 0\) ,
\(r =2\textrm{a}_{0}\)et\(\theta = 0\) ,
\(r =2\textrm{a}_{0}\)et\(\theta = \pi/2\) ,
\(r =2\textrm{a}_{0}\)et\(\theta = \pi\) .
On donne : \(\textrm{a}_{0} = \mathrm{0,529}\) \(\quad\) \(\AA = 1 ~\textrm{Bohr}\)
Solution
Pour l'hydrogène, Z = 1 . La densité volumique est :
\(\Psi_{2p_{z}}^2(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{32\pi}\bigg(\frac{1}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{5} ~r^{2}~\exp(-r/\textrm{a}_{0})\cos^{2}\theta\)
Le tableau ci-dessous rassemble les résultats des calculs
\(r\) | \(\theta\) | \(\Psi_{2p_{z}}^2\)en\(\AA^{-3}\) | \(\Psi_{2p_{z}}^2\)en\(\textrm{Bohr}^{-3}\) |
0 | - | 0 | 0 |
\(\textrm{a}_{0}\) | 0 | \(\mathrm{0,0247}\) | \(\mathrm{0,00366}\) |
\(2\textrm{a}_{0}\) | 0 | \(\mathrm{0,0364}\) | \(\mathrm{0,00538}\) |
\(2\textrm{a}_{0}\) | \(\pi/2\) | 0 | 0 |
\(2\textrm{a}_{0}\) | \(\pi\) | \(\mathrm{0,0247}\) | \(\mathrm{0,00366}\) |