Modèle de Slater
Partie
Question
Calculer en eV les énergies de première et seconde ionisation de l'atome de béryllium dans le modèle de Slater.
On trouvera ci-dessous les valeurs des constantes d'écran partielles.
Aide simple
Le numéro atomique du béryllium est \(\mathrm{Z = 4}\) et sa configuration électronique est \(1\mathrm{s}^2~2\mathrm{s}^2\).
Pour obtenir l'énergie d'un électron sur une orbitale, on utilise la formule de type hydrogénoïde :
\(\mathrm{E}_\mathrm{n}\left(\mathrm{eV}\right)=-13,6\left(\frac{\mathrm{Z^*}}{\mathrm{n}}\right)^2\)
La charge effective est la charge Z du noyau diminuée de la somme des constantes d'écran dues aux autres électrons.
Aide méthodologique
L'énergie de première ionisation\( \mathrm{I_1}\) correspond à la perte d'un électron :
\(\mathrm{X}\to\mathrm{X}^++\mathrm{\bar{e}}\)
L'énergie de seconde ionisation \(\mathrm{I_2}\) correspond à la perte d'un second électron :
\(\mathrm{X}^+\to\mathrm{X}^{2+}+\mathrm{\bar{e}}\)
Les énergies de ces espèces sont obtenues en sommant les énergies des orbitales occupées.
Aide à la lecture
Les énergies d'ionisation sont définies à partir des différences d'énergie entre les espèces intervenant dans le processus d'ionisation.
Solution détaillée
On calcule l'énergie de l'atome de béryllium.
Charge effective vue par un électron 2s | Charge effective vue par un électron 1s |
\(\mathrm{Z^*}\left(2\mathrm{s}\right)=4-0,35-2\times0,85=1,95\) | \(\mathrm{Z^*}\left(1\mathrm{s}\right)=4-0,31=3,69\) |
Energie de l'orbitale 2s (en eV) | Energie de l'orbitale 1s (en eV) |
\(\mathrm{E_2}=-13,6\left(\frac{1,95}{2}\right)^2=-12,93\) | \(\mathrm{E_1}=-13,6\left(\frac{3,69}{1}\right)^2=-185,18\) |
L'énergie de Be est alors :
\(\mathrm{E}\left(\mathrm{Be}\right)=2\times\mathrm{E_1}+2\times\mathrm{E_2}=-396,22~\mathrm{eV}\)
On calcule l'énergie du cation\( \mathrm{Be}^+\) de configuration\( 1\mathrm{s}^2 2\mathrm{s}^1\).
Charge effective vue par l'électron 2s | Charge effective vue par un électron 1s |
\(\mathrm{Z^*}\left(2\mathrm{s}\right)=4-2\times0,85=2,30\) | \(\mathrm{Z^*}\left(1\mathrm{s}\right)=4-0,31=3,69\) |
Energie de l'orbitale 2s (en eV) | Energie de l'orbitale 1s (en eV) |
\(\mathrm{E_2}=-13,6\left(\frac{2,30}{2}\right)^2=-17,99\) | \(\mathrm{E_1}=-13,6\left(\frac{3,69}{1}\right)^2=-185,18\) |
L'énergie de\( \mathrm{Be}^+\) est alors :
\(\mathrm{E}\left(\mathrm{Be^+}\right)=2\times\mathrm{E_1}+\mathrm{E_2}=-388,35~\mathrm{eV}\)
On calcule l'énergie du cation \(\mathrm{Be}^{2+}\) de configuration \(1\mathrm{s}^2\).
Charge effective vue par un électron 1s |
\(\mathrm{Z^*}\left(1\mathrm{s}\right)=4-0,31=3,69\) |
Energie de l'orbitale 1s (en eV) |
\(\mathrm{E_1}=-13,6\left(\frac{3,69}{1}\right)^2=-185,18\) |
L'énergie de \(\mathrm{Be}^{2+}\) est alors :
\(\mathrm{E}\left(\mathrm{Be^{2+}}\right)=2\times\mathrm{E_1}=-370,36~\mathrm{eV}\)
L'énergie de première ionisation est :
\(\mathrm{I_1}=\mathrm{E}\left(\mathrm{Be^+}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{Be}\right)=7,87~\mathrm{eV}\)
L'énergie de seconde ionisation est :
\(\mathrm{I_2}=\mathrm{E}\left(\mathrm{Be^{2+}}\right)-\mathrm{E}\left(\mathrm{Be^+}\right)=17,99~\mathrm{eV}\)