Résolution alternative en utilisant la symétrie
Dans l'ion moléculaire \(\textrm H_2^+\) , les considérations sur la symétrie des orbitales moléculaires suffisent en fait pour déterminer les coefficients LCAO. En effet, ces OM doivent obéir à certaines règles de transformation par les différents éléments de symétrie de la molécule.
\(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) sont construites à partir d'orbitales \(1\textrm s\) qui possèdent en commun un axe de révolution, l'axe de la liaison. Les deux combinaisons sont donc de symétrie \(\sigma\).
Considérons la combinaison générale \(\varphi= c_\textrm A.1\textrm s_\textrm A + c_\textrm B.1\textrm s_\textrm B\) et regardons comment elle se transforme par le centre de symétrie situé au milieu de la liaison.
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Les deux possibilités conduisent aux expressions :
\(\sigma_g=\textrm N.(1\textrm s_\textrm A+1\textrm s_\textrm B)\)
où \(\textrm N\) est une constante de normalisation
\(\sigma_u=\textrm M.(1\textrm s_\textrm A-1\textrm s_\textrm B)\)
où \(\textrm M\) est une constante de normalisation
La condition de normalisation de \(\sigma_g\) et \(\sigma_u\) permet d'exprimer \(\textrm N\) et \(\textrm M\) en fonction de l'intégrale de recouvrement \(S_\textrm{AB}\) et on retrouve alors les expressions déduites précédemment :
\(\displaystyle\begin{array}{cc}\sigma_g=\varphi_1=\frac{1}{\sqrt{2.(1+S_\textrm{AB})}}.(1\textrm s_\textrm A+1\textrm s_\textrm B)\\\sigma_u=\varphi_2=\frac{1}{\sqrt{2.(1-S_\textrm{AB})}}.(1\textrm s_\textrm A-1\textrm s_\textrm B)\end{array}\)