Constantes de normalisation et intégrale de recouvrement
Partie
Question
L'ion \(\mathrm{H_2}^{+}\) est formé de deux noyaux d'hydrogène \(\mathrm{A}\) et\( \mathrm{B}\) et d'un électron \(\mathrm{e}\).
Les deux premières orbitales moléculaires de la molécule de dihydrogène sont en bonne approximation simulées par les deux combinaisons suivantes, composées des orbitales atomiques \(\mathrm{1s_A}\) et \(\mathrm{1s_B}\) des deux atomes d'hydrogène.
\(\sigma_\mathrm{g}=\mathrm{N}\left(1\mathrm{s_A}+1\mathrm{s_B}\right)\)
\(\sigma_\mathrm{u}=\mathrm{N}\left(1\mathrm{s_A}-1\mathrm{s_B}\right)\)
Déterminer les constantes de normalisation\( \mathrm{N}\) et \(\mathrm{M}\) à la distance \(\mathrm{R} = 1,058 \AA\).
On donne l'expression de l'intégrale de recouvrement \(\mathrm{S}\) entre les deux orbitales 1s, dans laquelle la distance internucléaire \(\mathrm{R}\) est exprimée en Bohr :
\(\mathrm{S}=\exp\left(-\mathrm{R}\right)\left[1+\mathrm{R}+\frac{\mathrm{R}^2}{3}\right]\)
Aide simple
On rappelle qu'un Bohr vaut 0,529 Angström.
On rappelle aussi que les orbitales atomiques sont normalisées.
Aide méthodologique
La relation de normalisation exprime le fait que la densité de probabilité de présence associée à une orbitale (qu'elle soit moléculaire ou atomique) intégrée sur l'espace est égale à l'unité.
Il s'agit alors de décomposer les intégrales de normalisation en fonction des intégrales connues mettant en jeu les orbitales atomiques.
Aide à la lecture
Il s'agit de montrer que la norme de ces orbitales moléculaires est égale à l'unité pour en déduire les valeurs des inconnues \(\mathrm{N}\) et \(\mathrm{M}\).
Solution détaillée
On écrit la relation de normalisation de l'orbitale \(\sigma_{\mathrm{g}}\) :
\(1=\int_{\mathrm{espace}}\vert\sigma_{\mathrm{g}}\vert^2\mathrm{dv}\)
On développe l'orbitale moléculaire dans cette intégrale
\(1=\int_{\mathrm{espace}}\vert\sigma_{\mathrm{g}}\vert^2\mathrm{dv}=\mathrm{N}^2\int_{espace}\vert1\mathrm{s_A}+1\mathrm{s_B}\vert^2\mathrm{dv}\)
\(1=\mathrm{N}^2\left[\int_\mathrm{espace}\vert1\mathrm{s_A}\vert^2\mathrm{dv}+\int_{\mathrm{espace}}\vert1\mathrm{s_B}\vert^2\mathrm{dv}+2\int_{\mathrm{espace}}1\mathrm{s_A}.1\mathrm{s_B}~\mathrm{dv}\right]\)
Les deux premières intégrales sont les normes des orbitales atomiques. Elles valent 1.
La dernière intégrale mesure le recouvrement entre les orbitales atomiques. C'est l'intégrale \(\mathrm{S}\). Il vient alors :
\(1=\mathrm{N}^2\left[2+2\mathrm{S}\right]\)
soit :\( \mathrm{N}=\frac{1}{\sqrt{2\left(1+\mathrm{S}\right)}}\)
On démontre de même que pour l'orbitale moléculaire \(\sigma_{\mathrm{u}}\) :
\(\mathrm{M}=\frac{1}{\sqrt{2\left(1-\mathrm{S}\right)}}\)
Application numérique :
\(\mathrm{R}=1,058\AA=2~\mathrm{Bohrs}\)
\(\mathrm{S}=\exp(-2)\left[1+2+\frac{4}{3}\right]=0,586\)
\(\mathrm{N}=0,561\)
\(\mathrm{M}=1,1\)