Introduction
De même que le concept de suite sert à décrire un phénomène discret celui de fonction sert à décrire un phénomène continu. Dans ce cours on étudie des fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle de \(\mathbb R\) ou plus généralement sur une réunion d'intervalles.
Dans l'étude d'une fonction interviennent
des aspects locaux: continuité et dérivabilité en un point, approximation au voisinage d'un point...
des aspects globaux : monotonie, périodicité, continuité uniforme sur un intervalle...
En fait il y a interaction constante entre les phénomènes discrets (suites) et les phénomènes continus (fonctions). Par exemple la monotonie de suites, définies par une formule \(u_n=f(n)\), ou une relation de récurrence \(u_{n+1} = \phi(u_n)\) et la donnée de \(u_0\), peut s'obtenir à partir de la variation de la fonction \(f\) ou de la fonction \(\phi\) . Inversement, l'approximation des valeurs d'une fonction, de la solution d'une équation différentielle, d'une intégrale, s'obtient par la construction de suites dont on est conduit à étudier la convergence et la rapidité de la convergence. Ainsi dans les problèmes numériques on passe du continu au dénombrable, puis du dénombrable au fini. Pour calculer, par exemple, une valeur approchée d'une intégrale, on utilise la formule déduite du théorème de la moyenne
\(\displaystyle{\int_0^1 f(t)dt=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)}\)
et on approche l'intégrale en prenant une valeur de \(n\) assez grande.