De l'ensemble de définition au graphe

Quand on étudie une fonction réelle de variable réelle, on commence par déterminer son ensemble (appelé encore domaine) de définition. Cet ensemble, que nous noterons \(D\), peut être éventuellement :

  • vide comme dans le cas de la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\sqrt{-x^2+x-1}}\)

  • réduit à un seul point comme dans le cas de la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\sqrt{-\vert x\vert}}\)

Nous ne considérerons pas de tels cas et les fonctions que nous étudierons seront définies sur une réunion d'intervalles non vides et non réduits à un point; ainsi la fonction

\(\displaystyle{x\mapsto\ln\frac{x(x+1)}{(x-1)(x-2)}}\)

est définie sur \(\displaystyle{]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]2,+\infty[}\).

Un des objectifs (mais ce n'est pas le seul) dans l'étude d'une fonction \(f\) est d'obtenir, dans un repère orthonormé \((0,\vec i,\vec j)\) du plan, le graphe \(C_f\) qui est l'ensemble des points \((x,f(x)) \textrm{ où }x\) appartient à \(D\).

Dans un but de simplification, nous considérerons dans les généralités des applications d'un intervalle \(I\) ( non vide et non réduit à un point) de \(\mathbf R\) dans \(\mathbf R\) et nous noterons \(\mathbf F(\mathcal I, \mathbf R)\) l'ensemble des applications de \(\mathcal I\) dans \(\mathbf R\).

Attention

Pour certaines fonctions, même de définition simple, comme la fonction caractéristique des rationnels, dite encore fonction de Dirichlet, (fonction qui vaut \(1 \textrm{ sur }\mathbb Q \textrm{ et }0 \textrm{ sur }\mathbb R \setminus \mathbb Q\)), on ne peut pas tracer le graphe.

Dans un but de simplification, nous considérerons dans les généralités des applications d'un intervalle \(I\) ( non vide et non réduit à un point) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) et nous noterons \(F(I, \mathbb R)\) l'ensemble des applications de \(I\) dans \(\mathbb R\).