Etude locale des fonctions d'une variable réelle

Ce chapitre est consacré à l'étude des propriétés locales des fonctions réelles d'une variable réelle ou fonctions de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\); il s'agit de propriétés réalisées au voisinage d'un point qui peut éventuellement être \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\).

On commencera par analyser le cas simple d'une fonction continue en un point. L'étude d'exemples de fonctions non continues en un point nous amènera à introduire d'autres concepts, en particulier celui de limite. On terminera par quelques rappels sur la propriété de la dérivée d'une fonction en un point.

Remarquons que historiquement la notion de dérivée a été introduite à partir des besoins de la mécanique : vitesse, accélération (Galilée au XVIIème siècle), de la géométrie : tangentes aux courbes (Descartes au XVIIème siècle). Une étude rigoureuse de la continuité est beaucoup plus récente : elle a commencé avec Cauchy au XIXème siècle.