Continuité
Théorème :
Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont continues sur leur ensemble de définition.
Démonstration :
Du résultat préliminaire précédent on déduit \(\color{green}\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\sin x = 0 = \sin 0.\) La fonction sinus est donc continue en \(0.\)
\(\textrm{D'autre part,}~~\forall x \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[~~~~\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}~~\textrm{ donc }\) \(\color{green}\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\cos x = 1 = \cos 0.\)
La fonction cosinus est donc continue en \(0.\)
En un point quelconque \(x_0,\) on a
\(\forall h \in \mathbb R~~~~\sin(x_0+h) = \sin x_0 \cos h + \cos x_0 \sin h~~\textrm{ et donc }\) \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \sin(x_0 + h) = \sin x_0\)
\(\forall h \in \mathbb R~~~~\cos(x_0+h)=\cos x_0 \cos h - \sin x_0 \sin h~~\textrm{ et donc }\) \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \cos(x_0 + h) = \cos x_0\)
Les fonctions sinus et cosinus sont donc continues sur \(\mathbb R.\) La fonction tangente, quotient de deux fonctions continues sur \(\mathbb R,\) est donc continue sur son ensemble de définition.