Théorème - définition
Quand on cherche les fonctions numériques \(f\) définies et dérivables sur \(]0, +\infty[,\) telles que : \((1)~~~~\forall a > 0, \forall b > 0, f(ab) = f(a) + f(b)\) , on trouve que si il existe une fonction \(f\) solution du problème, sa dérivée vérifie la propriété :
\((2)~~~~\exists k \in \mathbb R, \forall x > 0~~~f'(x) = \frac{k}{x}\)
Démonstration : (2)
Supposons donc qu'il existe une fonction \(f\) solution du problème, soit \(a > 0\)et \(\rho\)la fonction définie par :\(\forall t >0 ~~\rho (t) = f(at).\)
La fonction \(\rho\)est dérivable et en appliquant la dérivation des fonctions composées \(\forall t > 0~~\rho'(t) = af'(at)\)mais \(\forall t > 0~~\rho(t) = f(a) + f(t)\) donc \(\forall t > 0~~\rho'(t) = f'(t).\)
D'où \(\forall t > 0~~af'(at)=f'(t),\) en particulier, pour \(t=1,~~af'(a) = f'(1).\)
Si on note \(k\) le réel \(f'(1)\)on conclut\(\forall a > 0~~f'(a) = \frac{k}{a}\)
donc \(\forall x > 0~~f'(x) = \frac{k}{x}.\)
Le théorème suivant donne l'existence d'une fonction solution du problème précédent.
Théorème :
Il existe une unique fonction \(f\) définie sur \(]0, +\infty[,\) dérivable, telle que
\(\forall x \in ]0, +\infty[~~~~f'(x)=\frac{1}{x}\)et \(f(1) = 0.\)
Cette fonction est notée \(x \mapsto \ln x\)(logarithme népérien de \(x)\) et vérifie :
\(\forall a >0,~~\forall b > 0~~~~\ln(ab) = \ln a+ \ln b.\)
Définition : primitive
Soit \(I\) un intervalle et \(f\) une fonction numérique définie sur \(I.\) On dit qu'une fonction numérique \(F\) définie sur \(I,\) est une primitive de \(f\) sur \(I,\) si \(F\) est dérivable et si \(F' = f.\)
Propriété :
Soit \(I\) un intervalle et \(f\) une fonction numérique, définie sur \(I.\) Si \(f\) admet au moins une primitive, elle en admet une infinité et deux primitives dans \(I\) diffèrent d'une constante.
Théorème : (admis)
Une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive \(F\) sur \(I,\) unique si on lui impose de s'annuler en un point \(x_0\)de \(I.\)
\(F : I \rightarrow \mathbb R\)
On la note :
\(x \mapsto \int^x_{x_0}f(t)dt\)
En résumé, les propriétés qui caractérisent \(F\) sont donc les suivantes :
\(F\) est définie, continue et dérivable sur \(I,\) \(F' = f,\) \(F(x_0) = 0.\)
On peut alors donner la définition du logarithme népérien
Définition : logarithme népérien
On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note " ln ", la primitive sur \(]0, +\infty[\)de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\)qui s'annule au point \(1.\)
Cela peut être formulé ainsi :
\(\ln : ]0, +\infty[ \rightarrow \mathbb R\)
\(x \mapsto \ln x = \int_1^x\frac{1}{t}dt\)
Démonstration :
Démonstration de la propriété \(\forall a >0,~~\forall b > 0~~~~\ln(ab) = \ln a+ \ln b\):
Soit \(a\) un réel strictement positif, la fonction \(g_a\)définie par \(x \mapsto \ln(ax)\)est définie, continue et dérivable sur \(]0, +\infty[\);
en appliquant la dérivation des fonctions composées \(g'_a(x) = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}.\)
Donc \(g_a\)et \(\ln\) ont la même dérivée sur \(]0, +\infty[.\)
Alors \(\exists \lambda \in \mathbb R~~\forall x \in ]0, +\infty[~~~~\ln(ax) = \ln x + \lambda.\)
Pour trouver \(\lambda\)il suffit de prendre une valeur particulière de \(x\) par exemple \(x = 1~~\ln(a1) = \ln 1 + \lambda\) d'où \(\lambda = \ln a.\)
On obtient ainsi \(\forall a > 0~~\forall x \in ]0, +\infty[~~\ln(ax) = \ln x + \ln a,\) ce qui termine la démonstration de la relation.