Fonctions usuelles et leurs réciproques

\(\boxed{\forall x \in \mathbb R~~\textrm{ch}^2x-\textrm{sh}^2x = 1}\)

• Interprétation géométrique de cette relation

Soit \(X = \textrm{ch}x,~~Y=\textrm{sh}x,~~X \geq1,~~X^2-Y^2 =1,\)

dans le plan euclidien muni d'un repère le point de coordonnées \((X,Y)\)décrit donc une demie hyperbole équilatère.

\(\color{red}\begin{cases}X = \textrm{ch}x\\Y=\textrm{sh}x\end{cases}\)

\(\color{blue}x\mapsto x\)

\(\color{green}x\mapsto -x\)

De même que les fonctions circulaires servent à paramétrer le cercle d'équation \(X^2+Y^2=1,\) les fonctions hyperboliques servent à paramétrer la demie hyperbole d'équation \(X^2-Y^2=1,X\geq1.\)

Il y a pour les fonctions hyperboliques des formules de trigonométrie semblables aux formules pour sinus, cosinus et tangente. Elles sont faciles à retenir quand on connaît celles de trigonométrie classique.

\(\boxed{\textrm{ch}(a+b) = \textrm{ch}a\textrm{ch}b+\textrm{sh}a\textrm{sh}b}\boxed{\textrm{ch}(a-b) = \textrm{ch}a\textrm{ch}b-\textrm{sh}a\textrm{sh}b}\\\boxed{\textrm{sh}(a+b) = \textrm{sh}a\textrm{ch}b+\textrm{ch}a\textrm{sh}b}\boxed{\textrm{sh}(a-b) = \textrm{sh}a\textrm{ch}b-\textrm{ch}a\textrm{sh}b}\\\boxed{\textrm{th}(a+b) = \frac{\textrm{th}a+\textrm{th}b}{1+\textrm{th}a\textrm{th}b}}\boxed{\textrm{th}(a-b) = \frac{\textrm{th}a-\textrm{th}b}{1-\textrm{th}a\textrm{th}b}}\)

Quelques autres formules

\(\boxed{\textrm{sh}(2a)=2\textrm{sh}a\textrm{ch}a}\boxed{\textrm{ch}(2a)=\textrm{ch}^2a+\textrm{sh}^2a=2\textrm{ch}^2a-1=1+2\textrm{sh}^2a}\\\boxed{\textrm{ch}p+\textrm{ch}q=2\textrm{ch}(\frac{p+q}{2})\textrm{ch}(\frac{p-q}{2})}\boxed{\textrm{sh}p+\textrm{sh}q=2\textrm{sh}(\frac{p+q}{2})\textrm{ch}(\frac{p-q}{2})}\\\boxed{\textrm{ch}(2a) =\frac{1+\textrm{th}^2a}{1-\textrm{th}^2a}}\boxed{\textrm{sh}(2a) =\frac{2\textrm{th}a}{1-\textrm{th}^2a}}\boxed{\textrm{th}(2a) =\frac{2\textrm{th}a}{1+\textrm{th}^2a}}\)

Toutes ces égalités se démontrent facilement : la première série à partir des définitions des fonctions sh, ch, th et en utilisant les propriétés de l'exponentielle, la deuxième à partir de la première comme pour les fonctions de trigonométrie classique.