Dérivée et graphe d'une fonction
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit la fonction \(f\) définie par :\(x \mapsto f(x)=\arcsin(\sin 2x)\)
Déterminer le domaine de définition de \(f,\) puis étudier sa parité et sa périodicité.
Simplifier l'expression de \(f(x)\)quand \(x\) appartient à l'intervalle \([0,\frac{\pi}{2}].\)
Construire le graphe de \(f\) pour \(x\) appartenant à l'intervalle \([-\frac{5\pi}{2},\frac{5\pi}{2}].\)
Solution
1. (3 pts)
La fonction sinus est définie sur \(\mathbb R\) et à valeurs dans \([-1, 1],\) or l'ensemble de définition de la fonction Arcsinus est précisément \([-1, 1],\) par conséquent la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb R.\)
Pour tout réel \(x,\) on a :
\(f(-x)=\arcsin(\sin(-2x))=\arcsin(-\sin(2x))=-\arcsin(\sin(2x))=-f(x)\)
\(f(x+\pi)=\arcsin(\sin(2x+2\pi))=\arcsin(\sin(2x))=f(x)\)
La fonction \(f\) est donc impaire et périodique de période \(\pi.\)
2. (4 pts)
Première méthode : utilisation de la définition de la fonction Arcsinus.
La fonction Arcsinus est à valeurs dans \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
donc \(f(x)\)appartient à \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)et \(\sin(f(x))=\sin 2x.\)
Or quand \(x\) parcourt \([0,\frac{\pi}{2}],\) \(2x\)parcourt \([0,\pi],\) on est donc amené à étudier deux cas :
\(x\in[0,\frac{\pi}{4}],\) c'est-à-dire \(2x \in[0,\frac{\pi}{2}],\) d'où \(\sin(f(x))=\sin 2x \Leftrightarrow f(x)=2x\)
\(x\in[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)c'est-à-dire \(2x\in[\frac{\pi}{2}, \pi],\) d'où \(\sin(f(x)) = \sin 2x \Leftrightarrow f(x) = \pi - 2x\)
Deuxième méthode : utilisation de la dérivée.
La fonction \(f\) est dérivable comme composée de fonctions dérivables, en tout point \(x\) tel que \(\sin(2x) \neq +1\) et \(\sin(2x) \neq -1.\)
Donc, dans l'intervalle \([0,\frac{\pi}{2}],\) \(f\) est dérivable en tout point distinct de \(\frac{\pi}{4}.\)
\(\forall x \in [0,\frac{\pi}{4}[ \cup ]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]~~f'(x)=\frac{2\cos 2x}{\sqrt{1-\sin^22x}} = \frac{2\cos 2x}{|\cos 2x|}\)
Ce qui donne \(\forall x \in [0,\frac{\pi}{4}[~~f'(x)=2\)d'où \(f(x)=2x+ C,\) \(C\) étant une constante réelle que l'on détermine grâce à l'égalité \(f(0)=C=\arcsin(\sin 0)= 0,\)
et \(\forall x \in ]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]~~f'(x)=-2\)d'où \(f(x)=-2x+C',\) \(C'\) étant une constante réelle que l'on détermine grâce à l'égalité \(f(\frac{\pi}{2}) = C'-\pi=\arcsin(\sin \pi) = 0.\)
Enfin \(f(\frac{\pi}{4}) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2} = 2(\frac{\pi}{4})=\pi-2(\frac{\pi}{4}).\)
On retrouve donc le résultat :
\(\forall x \in[0,\frac{\pi}{4}]~~f(x)=2x\\\forall x \in [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]~~f(x)=\pi-2x\)
3. (3 pts)
Pour construire le graphe de \(f\) :
On construit le graphe pour \(x\) appartenant à l'intervalle \([0,\frac{\pi}{2}],\) en utilisant les résultats de la question 2..
On complète le dessin pour les valeurs de \(x\) appartenant à l'intervalle \([-\frac{\pi}{2}, 0],\) en utilisant la symétrie par rapport à l'origine \((f\) est impaire).
Enfin, connaissant le graphe de \(f\) sur un intervalle d'amplitude une période, on obtient le reste du graphe par des translations successives de vecteur \(\overrightarrow{u}=(\pi,0)\)ou \(-\overrightarrow{u}=(-\pi,0).\)
