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Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

On considère l'équation \((E)\) : \(\arctan x = 2\arctan \frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{4}.\)

  1. Montrer que l'équation \((E)\) admet une solution réelle unique \(\alpha.\)

  2. Pour des réels \(a\) et \(b\) tels que \(a,\) \(b\) et \(a+b\) n'appartiennent pas à l'ensemble des réels de la forme \(\frac{\pi}{2} + k\pi,~k\in\mathbb Z,\) vérifier l'égalité suivante :

    \(\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}\)

  3. Calculer \(\alpha.\)

Solution

1. (4 pts)

La fonction \(\arctan\) est une fonction bijective de \(\mathbb R\) sur \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[.\)

Donc l'équation \((E)\)admet une solution et une seule si et seulement si le réel \((2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{4})\)appartient à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[.\)

De plus la fonction \(\arctan\) est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb R.\)

Comme \(0<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}\)et \(\arctan0=0,\) on obtient, en posant \(u=\arctan\frac{1}{2}\)et \(v=\arctan\frac{1}{4},\)

les inégalités : \(0<v<u\)et donc \(0<u-v<2u-v<2u.\)

De plus comme \(\frac{1}{2}<1\)et \(\arctan1=\frac{\pi}{4},\) on a aussi \(u<\frac{\pi}{4}.\)

Ceci entraîne les inégalités : \(0<2u-v<\frac{\pi}{2}.\)

Le réel \((2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{4})\)appartient bien à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[.\)

Donc il existe un unique réel \(\alpha\)tel que : \(\arctan\alpha=2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{4}.\)

2. (2 pts)

Si \(a,\) \(b\) et \(a+b\) ne sont pas de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi,~~k\in\mathbb Z,\) on peut définir \(\tan a,\) \(\tan b,\) et \(\tan(a+b).\)

\(\tan(a+b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\sin b \cos a}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\cos a\cos b(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b})}{\cos a\cos b(1-\frac{\sin a \sin b}{\cos a\cos b})}\)

On a bien l'égalité \(\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a\tan b}.\)

3. (4 pts)

Pour tout réel \(x,\) on a l'égalité \(\tan(\arctan x) = x.\) Donc \(\alpha = \tan(\arctan \alpha).\)

Ceci entraîne, avec les notations \(u=\arctan\frac{1}{2}\)et \(v=\arctan\frac{1}{4}\): \(\alpha =\tan(2u-v).\)

Comme \(2u,\) \(v\) et \(2u-v\)appartiennent à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[,\) les conditions de la question 2. sont bien vérifiées, on obtient donc \(\alpha=\frac{\tan(2u)+\tan(-v)}{1-\tan(2u)\tan(-v)}.\)

Or \(\tan(2u)=\tan(u+u)=\frac{2\tan u}{1-\tan^2u}\)et comme \(\tan u = \frac{1}{2},\) on obtient \(\tan(2u) = \frac{4}{3}.\)

De même \(\tan(-v) = -\tan v = -\frac{1}{4}.\)

Ceci entraîne, tous calculs faits : \(\boxed{\alpha = \frac{13}{16}}\)