Recherche de limites
Durée : 20 mn
Note maximale : 20
Question
Calculer les limites suivantes :
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{2x}+x)^{\frac{1}{x}}\)
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\cos\frac{\pi}{2}x}{\ln x}\)
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\textrm{Argch}x}{\ln x}\)
\(\lim_{x\rightarrow0}(1+\textrm{th}x)^{\frac{1}{\textrm{sh}x}}\)
Solution
\(\color{red} \textrm{1. Calcul de la } 1^{\textrm{ière}}~\textrm{limite}\) (5pt)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{2x}+x)=+\infty,~~\lim_{x\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{x}=0\) donc c'est une forme indéterminée.
Notons \(f_1(x)=(e^{2x}+x)^{\frac{1}{x}},\) alors\(f_1(x)=\exp(\frac{1}{x}\ln(e^{2x}+x)) = \exp(g_1(x))\)
\(g_1(x)=\frac{1}{x}\ln(e^{2x}(1+xe^{-2x})) = \frac{1}{x}(\ln(e^{2x})+\ln(1+xe^{-2x})) = \frac{1}{x}2x+\frac{1}{x}\ln(1+xe^{-2x})\)
Or \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0,~~\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(1+xe^{-2x})=\ln 1= 0\)donc \(\lim_{x\rightarrow+\infty}g_1(x)=2.\)
En utilisant la continuité de la fonction exponentielle on déduit \(\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=e^2.\)
Conclusion :\(\color{blue}\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{2x}+x)^{\frac{1}{x}}=e^2\)
\(\color{red} \textrm{2. Calcul de la } 2^{\textrm{ième}}~\textrm{limite}\) (5pt)
\(\lim_{x\rightarrow1}(\cos\frac{\pi}{2}x)=0,~~\lim_{x\rightarrow1}\ln x = 0,\) donc c'est une forme indéterminée.
Notons \(f_2(x)=\frac{\cos \frac{\pi}{2}x}{\ln x},~~u(x)=\cos\frac{\pi}{2}x,~~v(x)=\ln x,\)
alors \(f_2(x)=\frac{u(x)-u(1)}{v(x)-v(1)} = \frac{\frac{u(x)-u(1)}{x-1}}{\frac{v(x)-v(1)}{x-1}}\)or les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables au point \(1.\)
\(u'(x)=-\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}x ,~~u'(1)=-\frac{\pi}{2},~~v'(x)=\frac{1}{x},~~v'(1)=1\neq 0\)
En appliquant la règle du calcul de la limite d'un quotient on obtient \(\lim_{x\rightarrow 1}f_2(x)=-\frac{\pi}{2}.\)
Conclusion : \(\color{blue}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\cos\frac{\pi}{2}x}{\ln x}=-\frac{\pi}{2}\)
\(\color{red} \textrm{3. Calcul de la }3^{\textrm{ième}}~\textrm{limite}\) (5pt)
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\textrm{Argch} x = +\infty,~~\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty\) donc c'est une forme indéterminée.
Notons \(f_3(x)=\frac{\textrm{Argch}x}{\ln x},\) en utilisant l'expression \(\textrm{Argch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\)
on peut transformer \(\textrm{Argch}x=\ln(x(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}))=\ln x + \ln(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})\)
donc \(f_3(x)=1+\frac{1}{\ln x}\ln(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}),\)
or \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln x} = 0,~~\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})=\ln(1+1)=\ln 2,\)
d'où \(\lim_{x\rightarrow+\infty}f_3(x)=1.\)
Conclusion : \(\color{blue}\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\textrm{Argch}x}{\ln x} = 1\)
\(\color{red} \textrm{4. Calcul de la } 4^{\textrm{ième}}~\textrm{limite}\) (5pt)
\(\lim_{x\rightarrow0}(1+\textrm{th} x)=0,~~\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{\textrm{sh}x}=+\infty,~~\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{\textrm{sh}x}=-\infty,\) donc c'est une forme indéterminée.
Notons \(f_4(x)=(1+\textrm{th}x)^{\frac{1}{\textrm{sh}x}} = \exp(\frac{1}{\textrm{sh}x}\ln(1+\textrm{th}x)) = \exp g_4(x),\)
alors si \(u(x)=\ln(1+\textrm{th}x).~~v(x)=\textrm{sh}x,~~g_4(x)=\frac{\frac{u(x)-u(0)}{x}}{\frac{v(x)-v(0)}{x}}.\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(0.\)
\(u'(x)=\frac{1-\textrm{th}^2x}{1+\textrm{th}x},~~u'(0)=1,~~v'(x)=\textrm{ch}x,~~v'(0)=1\neq 0\)
d'où \(\lim_{x\rightarrow0}g_4(x)=1.\)
En utilisant la continuité de la fonction exponentielle on déduit \(\lim_{x\rightarrow 0}f_4(x)=e.\)
Conclusion : \(\color{blue}\lim_{x\rightarrow0}(1+\textrm{th}x)^{\frac{1}{\textrm{sh}x}} = e\)