Fonctions usuelles et leurs réciproques

En utilisant les définitions des fonctions ch et sh, on obtient :

\((S) \Leftrightarrow \begin{cases} e^x+e^{-x}+e^y+e^{-y} = \frac{9}{2}~~~~L_1\\e^x-e^{-x}+e^y-e^{-y} = \frac{3}{2}~~~~L_2\end{cases}\)

\((S) \Leftrightarrow \begin{cases} e^x + e^y = 3~~~~~~(L_1+L_2)/2\\e^{-x}+e^{-y}=\frac{3}{2}~~~~(L_1-L_2)/2\end{cases}\)

Notons \(X=e^x,~~Y=e^y\) on cherche donc deux réels strictement positifs \(X,~Y\)satisfaisant au système :

\((\Sigma)\begin{cases}X+Y = 3\\\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}X+Y=3\\\frac{Y}{XY}+\frac{X}{XY} = \frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}X+Y=3\\XY=2\end{cases}\)

Les réels \(X,~Y\)sont donc les racines du trinôme \((t-X)(t-Y)=t^2-(X+Y)t + XY = t^2-3t+2\)

or \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2).\)

Ainsi on obtient deux couples solutions \((X=1,~Y=2)\) et \((X=2,~Y=1).\)

On aurait pu résoudre le système \((\Sigma)\)en utilisant la méthode de substitution.

Alors \((x=0,~y=\ln 2)\) et \((x=\ln 2,~y=0).\)

L'ensemble des solutions du système \((S)\) est \(\color{blue}\{{(0, \ln 2),~(\ln 2, 0)}.\)