En utilisant les définitions des fonctions ch et sh, on obtient :
(S) \Leftrightarrow \begin{cases} e^x+e^{-x}+e^y+e^{-y} = \frac{9}{2}~~~~L_1\\e^x-e^{-x}+e^y-e^{-y} = \frac{3}{2}~~~~L_2\end{cases}
(S) \Leftrightarrow \begin{cases} e^x + e^y = 3~~~~~~(L_1+L_2)/2\\e^{-x}+e^{-y}=\frac{3}{2}~~~~(L_1-L_2)/2\end{cases}
Notons X=e^x,~~Y=e^y on cherche donc deux réels strictement positifs X,~Ysatisfaisant au système :
(\Sigma)\begin{cases}X+Y = 3\\\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}X+Y=3\\\frac{Y}{XY}+\frac{X}{XY} = \frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}X+Y=3\\XY=2\end{cases}
Les réels X,~Ysont donc les racines du trinôme (t-X)(t-Y)=t^2-(X+Y)t + XY = t^2-3t+2
or t^2-3t+2=(t-1)(t-2).
Ainsi on obtient deux couples solutions (X=1,~Y=2) et (X=2,~Y=1).
On aurait pu résoudre le système (\Sigma)en utilisant la méthode de substitution.
Alors (x=0,~y=\ln 2) et (x=\ln 2,~y=0).
L'ensemble des solutions du système (S) est \color{blue}\{{(0, \ln 2),~(\ln 2, 0)}.