Calculer avec des puissances fractionnaires
Partie
Question
Soit deux réels positifs \(a\) et \(b\) ; vérifier l'égalité :
\((a^2+a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{1}{2}} + (b^2+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})^{\tfrac{1}{2}} = (a^{\tfrac{2}{3}} + b^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{3}{2}}\)
Aide simple
Rappel : \(\forall (x, y)\in\mathbb R^2,~~(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.\)
Aide méthodologique
Nommer chacun des membres de l'égalité.
Comparer leurs carrés.
Aide à la lecture
Les réels \(a\) et \(b\) étant positifs, les puissances fractionnaires, utilisées dans l'égalité, sont bien définies.
Solution détaillée
Soit \(X\) le premier membre et \(Y\) le second membre de l'égalité cherchée.
Les deux membres sont des réels positifs, il suffit donc de prouver l'égalité de leurs carrés.
\(Y^2 = (a^{\tfrac{2}{3}}+b^{\tfrac{2}{3}})^3=a^2+3a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}}+3a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}+b^2\)
\(X=A+B,~~A=(a^2+a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{1}{2}},~~B=(b^2+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})^{\tfrac{1}{2}}\)
donc \(X^2 = A^2+2AB+B^2\)
Calcul du produit \(AB\) :
\(AB = [(a^2+a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}})(b^2+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})]^{\tfrac{1}{2}}=[a^2b^2+a^{\tfrac{8}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}+a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{8}{3}}+a^2b^2]^{\tfrac{1}{2}}\)
\(AB = [(a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}})^2+2a^2b^2+(a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})^2]^{\tfrac{1}{2}} = [(a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}}+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})^2]^{\tfrac{1}{2}}=a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}}+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}\)
Alors \(X^2 = (a^2+a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}})+(b^2+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}})+2(a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}}+a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}).\)
D'où \(X^2 = a^2+3a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{2}{3}}+3a^{\tfrac{2}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}+b^2=Y^2,\) ce qui termine la démonstration.