Lien entre deux fonctions
Partie
Question
Déterminer l'ensemble \(D_f\)des réels \(x\) pour lesquels on peut calculer l'expression \(f(x)=2\textrm{Arctan}\sqrt{x}.\)
Déterminer l'ensemble \(D_g\)des réels \(x\) pour lesquels on peut calculer l'expression \(g(x) = \textrm{Arcsin}(\frac{2\sqrt x}{1 + x}).\)
Soit \(a\) un réel différent de \(\frac{\pi}{2}+k\pi~~(k\in\mathbb Z).\) Exprimer \(\sin 2a\)en fonction de \(\tan a,\) puis calculer \(\sin[f(x)]\)pour \(x\) appartenant à \(D_f.\)
En déduire, suivant les valeurs de \(x,\) une relation simple entre \(f(x)\) et \(g(x).\)
Aide simple
Pour les questions 1. et 2. utiliser les résultats suivants :
la fonction \(x\mapsto\sqrt x\)est définie sur \(\mathbb R^+,\) la fonction \(\textrm{Arctan}\) est définie sur \(\mathbb R\) et la fonction \(\textrm{Arcsin}\) est définie sur \([-1, 1].\)
3. connaissant \(\sin 2a\)en fonction de \(\tan a,\) pour calculer \(\sin(f(x))\)on pose \(a=\textrm{Arctan}\sqrt x.\)
4. La question 3. demande de calculer \(\sin(f(x)).\) La définition de \(g(x)\)permet de connaître \(\sin(g(x)).\) Connaissant \(\sin(f(x))\)et \(\sin(g(x)),\) pour obtenir une relation entre \(f(x)\)et \(g(x)\)on cherche d'abord à quels intervalles appartiennent respectivement \(f(x)\)et \(g(x).\)
Aide méthodologique
1. et 2. Pour la recherche des ensembles de définition utiliser les résultats de cours sur les ensembles de définition des fonctions Arctangente et Arcsinus.
4. Commencer par comparer \(\sin(f(x))\) et \(\sin(g(x)).\)
Solution détaillée
1. \(\textrm{Arctan}\) est définie sur \(\mathbb R,\) donc \(D_f=\mathbb R^+.\)
2. \(\textrm{Arcsin}\) est définie sur \([-1, 1]\)donc \(x\in D_g\Leftrightarrow\begin{cases}x\in\mathbb R^+\\\frac{2\sqrt x}{1+x}\in[-1, 1]\end{cases}.\)
Si \(x\geq 0\)alors \(1+x\geq 0\)donc \(x\in D_g\Leftrightarrow\begin{cases}x\in\mathbb R^+\\0\leq\frac{2\sqrt x}{1+x}\leq 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\in\mathbb R^+\\1+x-2\sqrt x \geq 0\end{cases}.\)
\(1+x-2\sqrt x = (1-\sqrt x)^2\)donc \(D_g=\mathbb R^+.\)
3. Soit \(a\neq\frac{\pi}{2}+k\pi~~(k\in\mathbb Z),\) \(\tan a\)est donc défini, \(\sin 2a = 2\sin a \cos a,\)
donc \(\sin 2a = 2 \tan a \cos^2a\)d'où \(\sin 2a = \frac{2\tan a}{1+\tan^2 a}.\)
Soit \(x\) appartenant à \(\mathbb R^+.\) Posons \(a=\textrm{Arctan}\sqrt x.\)
\(\textrm{Arctan}~0=0\)et la fonction \(\textrm{Arctan}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R,\) donc \(a\in[0,\frac{\pi}{2}[,\) on peut donc écrire \(\sin[f(x)] = \sin 2a=2\frac{\tan a}{1+\tan^2a}.\)
D'où \(\sin[f(x)] = 2\frac{\sqrt x}{1+x}.\)
4. Pour tout réel \(x\in\mathbb R^+,\) \(\sin[f(x)]=2\frac{\sqrt x}{1+x}\) et \(g(x) = \textrm{Arcsin}(\frac{2\sqrt x}{1+x}).\)
On a donc pour tout \(x\in\mathbb R^+~~\sin(f(x))=\sin(g(x)).\)
Pour obtenir une relation entre \(f(x)\)et \(g(x)\) on précise à quels intervalles appartiennent respectivement \(f(x)\)et \(g(x).\)
D'après la question précédente, \(f(x)\in[0,\pi[.\)
Pour \(x\in\mathbb R^+,\) \(\frac{2\sqrt x}{1+x} \in[0, 1]\) et \(g(x) = \textrm{Arcsin}(\frac{2\sqrt x}{1+x}).\)
\(\textrm{Arcsin}~0=0\)et la fonction \(\textrm{Arcsin}\) étant croissante sur \([0,1],\) \(g(x)\in[0,\frac{\pi}{2}].\)
Deux cas sont donc à étudier : \(f(x)\in[0,\frac{\pi}{2}[\)et \(f(x)\in[\frac{\pi}{2},\pi[.\)
\(\textrm{Arctan}~1=\frac{\pi}{4}\)et la fonction \(\textrm{Arctan}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R.\)
D'où, si \(x\in[0, 1[\)alors \(\textrm{Arctan}\sqrt x\in[0,\frac{\pi}{4}[\)et \(f(x)\in[0,\frac{\pi}{2}[.\)
Donc \(f(x)=g(x).\)
Si \(x\in[1,+\infty[\)alors \(\textrm{Arctan}\sqrt x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}[\)et \(f(x)\in[\frac{\pi}{2},\pi[,\) donc \(f(x) = \pi - g(x).\)
Conclusion :
\(\boxed{Si~~x\in[0, 1[}\boxed{2\textrm{Arctan}\sqrt x = \textrm{Arcsin}\frac{2\sqrt x}{1+x}}\\\boxed{Si~~x\in[1, +\infty[}\boxed{2\textrm{Arctan}\sqrt x = \pi - \textrm{Arcsin}\frac{2\sqrt x}{1+x}}\)