Exercice n°1

Partie

Question

On considère deux nombres \(x , y\)

\(d = \textrm {pgcd} (x , y)\)

\(x = da \quad y = db \quad \textrm {pgcd} (a , b) = 1\)

\(m = \textrm {ppcm} (x , y)\)

  1. On suppose que le quotient de leur ppcm par leur pgcd est 240.

    Combien de couples de valeurs \((a , b)\) sont possibles (à l'ordre près) ?

  2. On suppose de plus \(x + y = 581.\)

    Combien de couples de valeurs \((x , y)\) sont possibles (à l'ordre près) ?

Rappel de cours

Voir la page Plus petit commun multiple (ppcm)

Solution détaillée

  1. Si \(x = da \quad y = db \quad xy = d ^2 ab\)

    Or on sait que \(xy\) égale \(md.\)

    Si \(m = 240 d\) on déduit \(ab = 240\)

    \(240 = 2 ^4 \times 3 \times 5\)

    240 admet seulement quatre décompositions en produit de deux facteurs premiers entre eux (1 , 240) (3 , 80) (5 , 48) (15 , 16)

  2. Si \(x + y = 581 \quad a + b\) est un diviseur de 581.

    \(581 = d (a + b)\)

    On vérifie que seul convient le couple (3 , 80) alors \(d = 7\) et le couple \((x , y)\) est (21 , 560).