Recherche de matrices solutions d'une équation ou d'un système linéaire
Partie
On considère les matrices A et B suivantes : \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)}\) et \(\displaystyle{B=\left(\begin{array}{c c c}-1&4&-3\\4&0&1\end{array}\right)}\).
Question
Déterminer la matrice \(X\) vérifiant l'égalité \(2A-3X=B\).
Aide simple
Traiter, en le justifiant, les équations données comme des équations de nombres réels.
Aide à la lecture
Les deux matrices \(A\) et \(B\) sont des matrices à deux lignes et trois colonnes : elles sont de type \((2, 3)\), elles appartiennent à l'ensemble \(M_{2,3}(R)\).
Aide méthodologique
On peut toujours multiplier une matrice par un réel. Par contre on ne peut additionner que des matrices de même type. Donc les matrices \(X, Y\) et \(Z\) cherchées ne peuvent être que des matrices de type \((2, 3)\).
Solution détaillée
Dans l'égalité \(2A-3X=B\), on peut ajouter aux deux membres la matrice \(-2A\); on obtient \(2A-3X+(-2A)=B+(-2A)\); cela donne, à cause de la commutativité de la somme, de la propriété \(2A+(-2A)=O\) et des définitions de \(O\) et de la soustraction de deux matrices : \(-3X=B+(-2A)=B-2A\).
Puis, en multipliant les deux membres par \(-\frac1{3}\), on trouve \(X=-\frac1{3}B+\frac2{3}A\).
Donc la matrice cherchée est unique et vaut : \(X=-\frac1{3}B+\frac2{3}A=-\frac1{3}\left(\begin{array}{c c c}-1&4&-3\\4&0&1\end{array}\right)+\frac2{3}\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)\)
d'où \(X=\left(\begin{array}{c c c}\frac1{3}&-\frac4{3}&1\\-\frac4{3}&0&-\frac1{3}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}\frac2{3}&\frac4{3}&2\\-\frac2{3}&0&\frac4{3}\end{array}\right)\)
donc \(X=\left(\begin{array}{c c c}1&0&3\\-2&0&1\end{array}\right)\)
Question
Déterminer les matrices \(Y\) et \(Z\) vérifiant le système suivant : \(\Bigg\{\begin{array}{cccccc}Y&+&2Z=A\\2Y&+&3Z=B\end{array}\)
Aide simple
Traiter, en le justifiant, les équations données comme des équations de nombres réels.
Aide à la lecture
Les deux matrices \(A\) et \(B\) sont des matrices à deux lignes et trois colonnes : elles sont de type \((2, 3)\), elles appartiennent à l'ensemble \(M_{2,3}(R)\).
Aide méthodologique
On peut toujours multiplier une matrice par un réel. Par contre on ne peut additionner que des matrices de même type. Donc les matrices \(X, Y\) et \(Z\) cherchées ne peuvent être que des matrices de type \((2, 3)\).
Solution détaillée
Si les matrices \(Y\) et \(Z\) vérifient le système \((S)\Bigg\{\begin{array}{cccccc}Y&+&2Z=A\\2Y&+&3Z=B'\end{array}\)
elles vérifient aussi le système \((S)\Bigg\{\begin{array}{cccccc}Y+2Z&=&A\\-Z&=&-2A+B\end{array}\) obtenu en ajoutant à la seconde équation deux fois les symétriques (pour l'addition) de la première équation, en suivant la même démarche que celle utilisée dans la question 1.
Mais réciproquement toutes matrices \(Y\) et \(Z\) vérifiant le système \((S')\) vérifient aussi le système \((S)\), car la deuxième équation du système \((S)\) s'obtient en ajoutant à la deuxième équation du système \((S')\) deux fois la première équation.
Du système \((S')\) on déduit :
\(Z=-B+2A=-\left(\begin{array}{c c c}-1&4&-3\\4&0&1\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}3&0&9\\-6&0&3\end{array}\right)\)
et
\(Y=-2Z+A=-2\left(\begin{array}{c c c}3&0&9\\-6&0&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}-5&2&-15\\11&0&-4\end{array}\right)\)