Matrices à n lignes et p colonnes

Dans l'égalité $2A-3X=B$, on peut ajouter aux deux membres la matrice $-2A$; on obtient $2A-3X+(-2A)=B+(-2A)$; cela donne, à cause de la commutativité de la somme, de la propriété $2A+(-2A)=O$ et des définitions de $O$ et de la soustraction de deux matrices : $-3X=B+(-2A)=B-2A$.

Puis, en multipliant les deux membres par $-\frac1{3}$, on trouve $X=-\frac1{3}B+\frac2{3}A$.

Donc la matrice cherchée est unique et vaut : $X=-\frac1{3}B+\frac2{3}A=-\frac1{3}\left(\begin{array}{c c c}-1&4&-3\\4&0&1\end{array}\right)+\frac2{3}\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)$

d'où $X=\left(\begin{array}{c c c}\frac1{3}&-\frac4{3}&1\\-\frac4{3}&0&-\frac1{3}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}\frac2{3}&\frac4{3}&2\\-\frac2{3}&0&\frac4{3}\end{array}\right)$

donc $X=\left(\begin{array}{c c c}1&0&3\\-2&0&1\end{array}\right)$

Si les matrices $Y$ et $Z$ vérifient le système $(S)\Bigg\{\begin{array}{cccccc}Y&+&2Z=A\\2Y&+&3Z=B'\end{array}$

elles vérifient aussi le système $(S)\Bigg\{\begin{array}{cccccc}Y+2Z&=&A\\-Z&=&-2A+B\end{array}$ obtenu en ajoutant à la seconde équation deux fois les symétriques (pour l'addition) de la première équation, en suivant la même démarche que celle utilisée dans la question 1.

Mais réciproquement toutes matrices $Y$ et $Z$ vérifiant le système $(S')$ vérifient aussi le système $(S)$, car la deuxième équation du système $(S)$ s'obtient en ajoutant à la deuxième équation du système $(S')$ deux fois la première équation.

Du système $(S')$ on déduit :

$Z=-B+2A=-\left(\begin{array}{c c c}-1&4&-3\\4&0&1\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}3&0&9\\-6&0&3\end{array}\right)$

et

$Y=-2Z+A=-2\left(\begin{array}{c c c}3&0&9\\-6&0&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}1&2&3\\-1&0&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}-5&2&-15\\11&0&-4\end{array}\right)$