Propriétés des traces d'une somme et d'un produit de matrices
Partie
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\). On définit la trace de \(A\), qu'on note \(Tr(A)\), comme la somme des éléments diagonaux de \(A\), c'est-à-dire :
la matrice A étant définie par \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le n\\1\le j\le n\end{array}}\), \(Tr(A)=\displaystyle{\sum^{i=n}_{i=1}a_{i,i}}\)
Question
Montrer que si \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées d'ordre \(n\), et si \(\alpha\) est un scalaire, alors on a les égalités : \(Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)\) et \(Tr(\alpha A)=\alpha Tr(A)\)
Aide simple
Remarquer que pour \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) et \(B=\Bigg(b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) \(Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}c_{i,j}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}(a_{i,1}b_{1,i}+a_{i,2}b_{2,i}+a_{i,3}b_{3,i})}\), écrire tous les termes de cette somme ; puis faire de même pour \(Tr(BA)\).
Aide à la lecture
La trace d'une matrice appartenant à \(M_n(K)\) est un élément de \(K\).
Aide méthodologique
Chercher les éléments de la diagonale des matrices \(A+B,\alpha A,AB,BA\).
Solution détaillée
Si la matrice \(A\) est définie par \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le n\\1\le j\le n\end{array}}\) et la matrice B par \(B=\Bigg(b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le n\\1\le j\le n\end{array}}\), alors les matrices \(A+B\) et \(\alpha A\) sont définies par \(A+B=\Bigg(a_{i,j}+b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le n\\1\le j\le n\end{array}}\) et \(\alpha A=\Bigg(\alpha a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le n\\1\le j\le n\end{array}}\)
D'où \(Tr(A+B)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}(a_{i,i}+B_{i,i})=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}a_{i,i}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}b_{i,i}=Tr(A)+Tr(B)\), et \(Tr(\alpha A)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}\alpha a_{i,i}=\alpha\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}a_{i,i}=\alpha Tr(A)\).
Question
Montrer que si \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées d'ordre 3, on a l'égalité : \(Tr(AB)=Tr(BA)\)
Aide simple
Remarquer que pour \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) et \(B=\Bigg(b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) \(Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}c_{i,j}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}(a_{i,1}b_{1,i}+a_{i,2}b_{2,i}+a_{i,3}b_{3,i})}\), écrire tous les termes de cette somme ; puis faire de même pour \(Tr(BA)\).
Aide à la lecture
La trace d'une matrice appartenant à \(M_n(K)\) est un élément de \(K\).
Aide méthodologique
Chercher les éléments de la diagonale des matrices \(A+B,\alpha A,AB,BA\).
Solution détaillée
Si la matrice \(A\) est définie par \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) et la matrice B par \(B=\Bigg(b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\), alors la matrice \(AB\) est définie par \(AB=\Bigg(c_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) où le coefficient \(c_{i,j}\) de la matrice \(AB\), situé à la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne, est obtenu à partir de la \(i\)-ième ligne de \(A\) et de la \(j\)-ième colonne de \(B\) de la manière suivante : \(C_{i,j}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=3}}a_{i,k}b_{k,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+a_{i,3}b_{3,j}\).
Donc : \(Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}c_{i,i}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}\left(\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=3}}a_{i,k}b_{k,i}\right)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}(a_{i,1}b_{1,i}+a_{i,2}b_{2,i}+a_{i,3}b_{3,i})\), c'est à dire : \(Tr(AB)=(a_{1,1}b_{1,1}+a_{1,2}b_{2,1}+a_{1,3}b_{3,1})+(a_{2,1}b_{1,2}+a_{2,2}b_{2,2}+a_{2,3}b_{3,2})+(a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}+a_{3,3}b_{3,3})\)
La matrice \(BA\) est définie par \(BA=\Bigg(d_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) où le coefficient \(d_{i,j}\) de la matrice \(BA\) est : \(d_{i,j}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=3}}b_{i,k}a_{k,j}=b_{i,1}a_{1,j}+b_{i,2}a_{2,j}+b_{i,3}a_{3,j}\).
Donc \(Tr(BA)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}d_{i,i}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}\left(\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=3}}a_{k,i}b_{i,k}\right)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}}(a_{1,i}b_{i,1}+a_{2,i}b_{i,2}+a_{3,i}b_{i,3})\), donc \(Tr(BA)=(a_{1,1}b_{1,1}+a_{2,1}b_{1,2}+a_{3,1}b_{1,3})+(a_{1,2}b_{2,1}+a_{2,2}b_{2,2}+a_{3,2}b_{2,3})+(a_{1,3}b_{3,1}+a_{2,3}b_{3,2}+a_{3,3}b_{3,3})\)
On remarque alors que les deux expressions \(Tr(AB)\) et \(Tr(BA)\) sont égales car sommes des mêmes termes arrangés différemment.
Remarque :
Ce résultat se généralise : lorsque \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées d'ordre \(n\), on a aussi \(Tr(AB)=Tr(BA)\).
Question
Déduire des questions précédentes qu'il n'existe pas de matrices carrées \(A\) et \(B\) d'ordre 3 vérifiant l'équation \(AB-BA=I\), où I désigne la matrice unité \(\displaystyle{\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)}\).
Aide simple
Remarquer que pour \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) et \(B=\Bigg(b_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le3\\1\le j\le3\end{array}}\) \(Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}c_{i,j}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=3}(a_{i,1}b_{1,i}+a_{i,2}b_{2,i}+a_{i,3}b_{3,i})}\), écrire tous les termes de cette somme ; puis faire de même pour \(Tr(BA)\).
Aide à la lecture
La trace d'une matrice appartenant à \(M_n(K)\) est un élément de \(K\).
Aide méthodologique
Chercher les éléments de la diagonale des matrices \(A+B,\alpha A,AB,BA\).
Solution détaillée
D'après les première et deuxième questions, on a, pour toutes matrices carrées \(A\) et \(B\) d'ordre 3 : \(Tr(AB-BA)=Tr(AB)-Tr(BA)=0\), or \(Tr(I)=1+1+1=3\). Donc il n'existe pas des matrices carrées \(A\) et \(B\) d'ordre 3 vérifiant l'équation \(AB-BA=I\).