Exemple d'utilisation
Calcul des puissances de matrices de la forme \(\lambda\mathcal I_n+\mathcal N\)
où \(\mathcal N\) est une matrice de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\)
, nilpotente.
Définition : Définition d'une matrice nilpotente
Une matrice nilpotente est une matrice carrée dont une puissance est nulle, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier naturel \(p\) tel que \(\mathcal N^p=0\).
Cela entraîne que quelque soit l'entier r supérieur ou égal à \(p\), on a \(\mathcal N^r=0\).
La formule du binôme va pouvoir être utilisée. En effet, la matrice \(\lambda\mathcal I_n\) commute avec tout élément \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) de et donc en particulier avec \(\mathcal N\).
Il est immédiat que pour tout entier \(k\), on a\( (\lambda\mathcal I_n)^k=\lambda^k\mathcal I_n\).
Alors\(\displaystyle{(\lambda\mathcal I_n+\mathcal N)^m=\sum_{k=0}^{k=m}\mathcal C_m^k\lambda^{m-k}\mathcal N^k}\) En particulier si m est supérieur à \(p\), on aura
\(\displaystyle{(\lambda\mathcal I_n+\mathcal N)^m=\sum_{k=0}^{k=p-1}\mathcal C_m^k\lambda^{m-k}\mathcal N^k}\)
Autrement dit, lorsque \(\mathcal N^p=\mathcal O\) , les puissances de la matrice\( \lambda\mathcal I_n+\mathcal N\) s'expriment uniquement à l'aide des \(p-1\) premières puissances de \(\mathcal N\).
Exemple :
Soit \(\mathcal M=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{array}\right)\)
On se propose de calculer \(\mathcal M^k\), pour n'importe quel entier \(k\) supérieur à \(1\), en commençant par remarquer que \(\mathcal M-\mathcal I_4\) est nilpotente.
On a \(\mathcal M-\mathcal I_4=\left(\begin{array}{cccccc}0&1&1&1\\0&0&2&1\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{array}\right)\), d'où
\((\mathcal M-\mathcal I_4)^2=\left(\begin{array}{cccccc}0&0&2&4\\0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\),
\((\mathcal M-\mathcal I_4)^3=\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\) et
\((\mathcal M-\mathcal I_4)^4=\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)=0\)
Si l'on pose \(\mathcal M-\mathcal I_4=\mathcal N\) , on a \(\mathcal M=(\mathcal M-\mathcal I_4)+\mathcal I_4=\mathcal N+\mathcal I_4\) . On est donc dans la situation précédente avec \(\lambda=1\textrm{ et }p=4\) . Alors, si \(k\) est supérieur ou égal à \(3\), on a \(\displaystyle{\mathcal M^k=(\mathcal I_4+\mathcal N)^k=\sum_{l=0}^{l=3}\mathcal C_k^l\mathcal N^l}\)
et donc
\(\displaystyle{\mathcal M^k=\sum_{l=0}^{l=3}\mathcal C_k^l\mathcal N^l=\mathcal I_4+k\mathcal N+\frac{k(k-1)}{2 !}\mathcal N^2+\frac{k(k-1)(k-2)}{3 !}\mathcal N^3}\)
soit \(\mathcal M^k=\left(\begin{array}{cccc}1&k&k^2&k(k^2-k+1)\\0&1&2k&k(3k-2)\\0&0&1&3k\\0&0&0&1\end{array}\right)\)
On vérifie immédiatement que cette formule est aussi vraie pour \(k=1\) et\( k=2\) .
Remarque :
Ce résultat illustre bien la remarque faite sur la difficulté de deviner la formule si l'on veut faire une démonstration par récurrence.