Inverse d'une matrice : définition, unicité
Propriété : unicité, en cas d'existence, d'une matrice \mathcal B vérifiant \mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_2
Soit \(\mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K)\) une matrice carrée à \(n\) lignes et \(n\) colonnes. S'il existe une matrice \(\mathcal B\) appartenant à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_n\), elle est unique.
Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.
Définition : Définition de l'inverse d'une matrice inversible
Si \(\mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K)\) est une matrice inversible, la matrice \(\mathcal B\) appartenant à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_n\) est appelée matrice inverse de \(\mathcal A\) et notée \(\mathcal A^{-1}\).
Exemple :
On a vu que l'inverse de la matrice unité est la matrice unité.
Dans le quatrième exemple que nous avons traité, on peut donc dire que \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) est inversible \(\mathcal{A}^{-1}\) et que son inverse est égale à \(\left(\begin{array}{cccccc}1&-1\\0&1\end{array}\right)\).
Preuve : Preuve de l'unicité
La méthode classique pour mener à bien une telle démonstration est de supposer l'existence de deux matrices \(\mathcal B_1\) et \(\mathcal{B}_2\) satisfaisant aux conditions imposées et de démontrer que \(\mathcal B_1=\mathcal B_2\).
Soit donc \(\mathcal B_1\) telle que \(\mathcal{AB_1}=\mathcal{B_1A}=\mathcal I_n\) et \(\mathcal B_2\) telle que. Calculons \(\mathcal{B_2}(\mathcal{AB}_1)\). On a \(\mathcal{B_2}(\mathcal{AB}_1)=\mathcal B_2\mathcal I_2=\mathcal B_2\)
Comme le produit des matrices est associatif, on a \(\mathcal B_2(\mathcal{AB}_1)=(\mathcal{B_2A})\mathcal B_1\).
Or \((\mathcal{B_2A})\mathcal B_1=\mathcal I_2\mathcal B_1=\mathcal B_1\) .
Donc \(\mathcal B_1=\mathcal B_2\).
En fait, dans cette démonstration, seules les égalités \(\mathcal{AB}_1=\mathcal I_n\) et \(\mathcal B_2\mathcal A=\mathcal I_n\) ont été utilisées. Cela permet de faire la remarque suivante :
Remarque :
On aurait pu introduire, pour les matrices de type quelconque les notions d'inverse à droite et d'inverse à gauche de la manière suivante.
Soit \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) une matrice carrée à \(n\) lignes et \(p\) colonnes. On dit qu'elle est inversible à droite s'il existe une matrice \(\mathcal A_1\) appartenant à \(\mathcal M_{p,n}(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal{AA}_1=\mathcal I_n\).
De même on dit qu'elle est inversible à gauche s'il existe une matrice\( \mathcal A_2\) appartenant à \(\mathcal M_{p,n}(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal A_2\mathcal A=\mathcal I_p\).
Alors la démonstration précédente prouve que si une matrice carrée a un inverse à droite et un inverse à gauche, alors ces inverses sont égales ; on peut donc affirmer que la matrice est inversible. Pour une matrice carrée, les notions de matrice inversible, matrice inversible à droite et à gauche coïncident donc.