Propriétés de l'ensemble des matrices carrées inversibles
Théorème :
Soit \(\lambda\) un scalaire quelconque non nul et \(\mathcal A\) une matrice inversible, élément de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\). Alors la matrice \(\lambda\mathcal A\) est inversible et \(\displaystyle{(\lambda\mathcal A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\mathcal A^{-1}}\).
Soient \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) deux éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), inversibles. Alors la matrice \(\mathcal{AB}\) est inversible et \((\mathcal{AB})^{-1}=\mathcal B^{-1}\mathcal A^{-1}\) .
Soit \(\mathcal A\) un élément de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) , inversible. Alors la matrice \({}^t\mathcal A\) est inversible et \(({}^t\mathcal A)^{-1}={}^t(\mathcal A^{-1})\).
Soit \(\mathcal A\) un élément de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), inversible. La matrice \(\mathcal A^{-1}\) est inversible et son inverse est égale à \(\mathcal A\).
La preuve de ces formules est très simple : il suffit d'utiliser la définition de l'inverse d'une matrice et le fait que l'inverse est unique.
Remarque :
On n'a aucun résultat sur la somme de matrices inversibles.
Pour s'en convaincre on peut considérer les deux exemples suivants :
Soit \(\mathcal A \textrm{ et }\mathcal B\) les deux matrices et . On a déjà vu que \(\mathcal A\) est inversible. Comme \(\mathcal B\) peut s'écrire \(-\mathcal A\), la matrice \(\mathcal B\) est aussi inversible d'après la première propriété. Mais \(\mathcal A+\mathcal B=0\) n'est pas inversible.
Par contre si l'on considère les matrices \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}2&2\\0&2\end{array}\right)\) , \(\mathcal B\) est inversible pour les mêmes raisons que dans l'exemple \(1)\), ainsi que la matrice \(\mathcal A+\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}3&3\\0&3\end{array}\right)\).
" Simplification " par une matrice inversible
Si\( \mathcal M\) est une matrice de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) quelconque, la relation \(\mathcal{MA}=\mathcal{MB}\) où \(\mathcal A\), et \(\mathcal B\) sont des éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) n'entraîne pas forcément l'égalité \(\mathcal A=\mathcal B\).
Exemple :
Complément :
Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}0&1\\0&0\end{array}\right) \textrm{ et }\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\) .
Ces matrices sont non nulles et pourtant \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\0&0\end{array}\right)\) et \(\mathcal{AA}=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\0&0\end{array}\right)\) .
On peut donc avoir trois matrices \(\mathcal A, \mathcal B\) et \(\mathcal C\), éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telles que :
\(\mathcal{AB}=\mathcal{AC}\)
\(\mathcal A\neq0\)
\(\mathcal B\neq\mathcal C\)
Par contre, si \(\mathcal M\) est une matrice inversible de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), une telle situation ne peut se produire comme le prouve la proposition suivante :
Proposition : " Simplification " par une matrice inversible
Soient\( \mathcal A\) et \(\mathcal B\) deux matrices de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) et \(\mathcal M\) une matrice inversible de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) .
Alors l'égalité \(\mathcal{MA}=\mathcal{MB}\) implique l'égalité \(\mathcal A=\mathcal B\).
On dit que \(\mathcal M\) est un élément régulier de\( \mathcal M_n(\mathbf K)\).
Ce résultat est immédiat : si on multiplie à gauche l'égalité \(\mathcal{MA}=\mathcal{MB}\) par\( \mathcal M^{-1}\) , on obtient l'égalité : \(\mathcal M^{-1}(\mathcal{MA})=\mathcal M^{-1}(\mathcal{MB})\).
Soit, en utilisant l'associativité du produit des matrices,\( (\mathcal M^{-1}\mathcal M)\mathcal A=(\mathcal M^{-1}\mathcal M)\mathcal B\)
ce qui donne d'après la définition de l'inverse\( \mathcal I_n\mathcal A=\mathcal I_n\mathcal B\) d'où \(\mathcal A=\mathcal B\).