Méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice
La méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice va s'appuyer sur la propriété suivante :
Lemme :
Soient\( \mathcal M\) et \(\mathcal M'\) deux matrices de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) . Si \(\mathcal{MY}=\mathcal{M'Y}\) pour toute matrice \(\mathcal Y\) appartenant à \(\mathcal M_{p,1}(\mathbf K)\), alors \(\mathcal M=\mathcal M'\).
Preuve :
Il suffit de remarquer que si \(\mathcal Y_i=\left(\begin{array}{cccccc}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{array}\right)\)où le \(" 1 "\) est à la i-ème ligne, \(\mathcal{MY}_i\) est la matrice colonne formée de la i-ème colonne de \(\mathcal M\). On obtient donc le résultat en appliquant l'hypothèse aux matrices \(\mathcal Y_i\) , pour tout \(i\) compris entre \(1\) et \(p\).
On en déduit un procédé pratique pour déterminer explicitement l'inverse d'une matrice inversible.
En effet on a une méthode algorithmique pour résoudre les systèmes linéaires, la méthode de Gauss.
On résout donc, par ce procédé, un système linéaire \(\mathcal{AX}=\mathcal Y\) avec\( \mathcal Y\) quelconque appartenant à \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf K)\).
On obtient la solution que l'on peut écrire sous la forme \(\mathcal X=\mathcal A'\mathcal Y\). Alors, comme on sait que le système a une unique solution \(\mathcal X=\mathcal A^{-1}\mathcal Y\), le lemme permet d'écrire \(\mathcal A'=\mathcal A^{-1}\).
Remarque :
Si l'on ne sait pas à l'avance que la matrice \(\mathcal A\) est inversible, mais si l'on a prouvé par le procédé précédent que \(\mathcal{AX}=\mathcal Y\Leftrightarrow\mathcal X=\mathcal{A'Y}\) pour toute matrice \(\mathcal Y\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p,1}(\mathbf K)\), on peut en déduire en utilisant le lemme que \(\mathcal{AA'}=\mathcal I_n\).
Exemple :
Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{array}\right)\)
On a l'équivalence suivante :
\(\mathcal{AX}=\mathcal Y\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)
Cette égalité matricielle équivaut au système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&+&x_2&=&y_1\\-x_1&+&x_2&=&y_2\end{array}\right.}\)
Il est déjà sous forme triangulaire ; on a donc \(x_1=y_3,\quad x_2=y_2-y_3,\quad x_3=y_1-y_2\), solution que l'on peut écrire sous la forme :
\(\displaystyle{\begin{array}{ccccccc}x_1&=&&&&&y_3\\x_2&=&&&y_2&-&y_3\\x_3&=&y_1&-&y_2\end{array}}\)
On lit sur ces formules leur écriture matricielle :
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)}\)
Si l'on a un procédé simple pour montrer que la matrice \(\mathcal A\) est inversible, ce qui est le cas lorsque que l'on connaît le lien entre matrice et application linéaire, on en déduit directement que l'inverse de \(\mathcal A\) est la matrice
\(\mathcal A^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{array}\right)\)
Sinon il suffit de vérifier que \(\mathcal A\left(\begin{array}{cccccc}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{array}\right)=\mathcal I_3\))
Remarque :
Il existe d'autres méthodes permettant de calculer l'inverse d'une matrice, mais celle-ci, simple sur le plan théorique, est aussi une des plus simples du point de vue des calculs. En effet, dans cet exemple, elle ne nécessite que la résolution d'un système de \(3\) équations à \(3\) inconnues, alors qu'en utilisant la définition il aurait fallu résoudre un système de \(9\) équations à \(9\) inconnues.