Puissances de matrices

Durée : 8 mn

Note maximale : 10

Question

\(A=\left[\begin{array}{c c c}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]\)

Calculer \(A^n\) pour tout entier positif \(n\).

Solution

\(A^2=\left[\begin{array}{c c c}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right]\) \(A^3^=\left[\begin{array}{c c c}1&3&1+2+3\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right]\)

Hypothèse de récurrence : \(A^n=\left[\begin{array}{c c c}1&n&S_n\\0&1&n\\0&0&1\end{array}\right]\) où \(S_n=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2\)

Alors \(A^{n+1}=\left[\begin{array}{c c c}1&n+1&S_n+n+1\\0&1&n+1\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}1&n+1&S_{n+1}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{array}\right]\) avec \(S_{n+1}=S_n+n+1=\frac{(n+1)}2(n+2)\) d'où pour tout entier \(n\), \(A^n=\left[\begin{array}{c c c}1&n&S_n\\0&1&n\\0&0&1\end{array}\right]\) avec \(S_n=\frac{n(n+1)}2\)