Matrices carrées

La matrice A se décompose de la façon suivante :

\(A=\left(\begin{array}{c c c}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\)

Si on appelle \(B\) la matrice \(\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), on a \(A=2I+B\).

La matrice \(2I\) commute avec toutes les matrices donc avec \(B\).

\(B^2=\left(\begin{array}{c c c}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right), B^3=\left(\begin{array}{c c c}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)=0\)

La matrice \(B\) est donc nilpotente.

Puisque les matrices \(2I\) et \(B\) commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer : \(A^n=(2I+B)^n\) :

\((2I+B)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}C^k_n(2I)^{n-k}B^k\) les \(C_n^k\) sont les coefficients binômiaux.

De plus pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 3, \(B^k=0\).

Donc, pour \(n\ge2\)

\((2I+B)^n=C_n^0(2I)^n+C_n^1(2I)^{n-1}B+C_n^2(2I)^{n-2}B^2\)

\((2I+B)^n=(2I)^n+n(2I)^{n-1}B+\frac{n(n-1)}2(2I)^{n-2}B^2\)

\((2I+B)^n=2^nI+n2^{n-1}B+n(n-1)2^{n-3}B^2\)

On peut vérifier que cette égalité est encore valable pour \(n = 1\), puisqu'on obtient \(A=2I+B\).

D'où, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1.

\(A^n=\left(\begin{array}{c c c}2^n&n2^{n-1}&n(n-1)2^{n-3}\\0&2^n&n2^{n-1}\\0&0&2^n\end{array}\right)\)