Matrices carrées

Soient \(X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) deux éléments de \(M_{3,1}(R)\).

\(AX=Y\Leftrightarrow=\left(\begin{array}{c c c}1&2&-2\\-1&3&0\\0&-2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)

Cette égalité matricielle est équivalente au système \((S)\) suivant : \(\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&+&2x_2&-2x_3&=&y_1\\-x_1&+&3x_2&&=&y_2\\&&-2x_2&+x_3&=&y_3\end{array}\)

On résout \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss.

\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x_1+&2x_2&-2x_3&=&y_1&\\&5x_2&-2x_3&=&y_2+y_1&L_2\leftarrow L_2+L_1\\&-2x_2&+x_3&=&y_3\end{array}\)

\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x_1-&2x_3&+2x_2&=&y_1&\\&-2x_3&+5x_2&=&y_2+y_1\\&&x_2&=&2y_3+y_2+y_1&L_3\leftarrow2L_3+L_2\end{array}\)

On obtient \(x_2=y_1+y_2+2y_3\), puis \(x_3=2y_1+2y_2+5y_3\) et \(x_1=3y_1+2y_2+6y_3\), solution que l'on peut écrire sous la forme :

\(\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&=&3y_1+2y_2+6y_3\\x_2&=&y1+y_2+2y_3\\x_3&=&2y_1+2y_2+5y_3\end{array}\)

Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement : \(\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)

Soit\( A'=\left(\begin{array}{c c c}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{array}\right)\)

On a donc pour toutes matrices \(X\) et \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\).

On a donc pour toute matrice \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\), \(Y=AA'Y\) on en déduit \(AA'=I_3\).

De même pour toute matrice \(X\) de \(M_{3,1}(R)\), \(X=A'AX\) et donc \(A'A=I_3\).

La matrice \(A\) est donc inversible et \(A^{-1}=A'=\left(\begin{array}{c c c}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{array}\right)\)