Matrices carrées

Soient \(X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) deux éléments de \(M_{3,1}(R)\).

\(AX=Y\Leftrightarrow=\left(\begin{array}{c c c}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)

Cette égalité matricielle est équivalente au système \((S)\) suivant : \(\left\{\begin{array}{cccccc}ax_1+x_2+x_3=y_1\\x_1+ax_2+x_3=y_2\\x_1+x_2+ax_3=y_3\end{array}\)

On peut résoudre \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss, mais ici, vu la forme particulière de ce système, on peut utiliser les transformations élémentaires d'une façon plus astucieuse :

\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}ax_1&+&x_2&+&x_3&=&y_1\\x_1&+&ax_2&+&x_3&=&y_2\\(a+2)x_1&+&(a+2)x_2&+&(a+2)x_3&=&y_1+y_2+y_3&L_3\leftarrow L_3+L_2+L_1\end{array}\)

Supposons que \(a\ne-2\), la troisième équation peut être simplifiée par \((a+2)\)

\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}ax_1+x_2+x_3&=&y_1&L_1\\x_1+ax_2+x_3&=&y_2&L_2\\x_1+x_2+x_3&=&(y_1+y_2+y_3)(a+2)^{-1}&L_3\end{array}\)

\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}(a-1)x_1&&&=&((a+1)y_1-y_2-y_3)(a+2)^{-1}&L_1\leftarrow L_1-L_3\\&(a-1)x_2&&=&(-y_1+(a+1)y_2-y_3)(a+2)^{-1}&L_2\leftarrow L_2-L_3\\x_1&+x_2&+x_3&=&(y_1+y_2+y_3)(a+2)^{-1}&L_3\end{array}\)

Si \(a\) est différent de 1 et de-2 , le système admet une solution unique :

\(\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&=&(&(a+1)y_1&-&y_2&-&y_3&)(a+2)^{-1}(a-1)^{-1}\\x_2&=&(&-y_1&+&(a+1)y_2&-&y_3&)(a+2)^{-1}(a-1)^{-1}\\x_3&=&(&-y_1&-&y_2&+&(a+1)y_3&)(a+2)^{-1}(a-1)^{-1}\end{array}\)

Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement : \(\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\frac1{(a+2)(a-1)}\left(\begin{array}{c c c}a+1&-1&-1\\-1&a+1&-1\\-1&-1&a+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)

Soit \(A'=\frac1{(a+2)(a-1)}\left(\begin{array}{c c c}a+1&-1&-1\\-1&a+1&-1\\-1&-1&a+1\end{array}\right)\)

On a donc pour toutes matrices \(X\) et \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\).

On a donc pour toute matrice \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\quad Y=AA'Y\) on en déduit \(AA'=I_3\).

De même pour toute matrice \(X\) de \(M_{3,1}(R)\quad X=A'AX\) et donc \(A'A=I_3\).

Lorsque \(a\in R\backslash\{-2,1\}\) la matrice \(A\) est donc inversible et

\(A^{-1}=A'=\frac1{(a+2)(a-1)}\left(\begin{array}{c c c}a+1&-1&-1\\-1&a+1&-1\\-1&-1&a+1\end{array}\right)\)

Etudions maintenant les deux cas laissés de côté :

• Si \(a=-2\)

  \((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-2x_1+x_2+&x_3&=&y_1\\x_1-2x_2+&x_3&=&y_2\\&0&=&y_1+y_2+y_3&L_3\leftarrow L_3+L_2+L_1\end{array}\)

  Il existe \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) tel que le système \((S)AX=Y\) n'ait pas de solution, par exemple \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\end{array}\right)\); par conséquent si \(a=-2\), \(A\) n'est pas inversible.

• De même si \(a=1\)

  \((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x_1+x_2+&x_3&=&y_1&L_1\\&0&=&y_2-y_1&L_2\leftarrow L_2-L_1\\&0&=&y_3-y_1&L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\)

  Il existe \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) tel que le système \((S)AX=Y\) n'ait pas de solution, par exemple \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\end{array}\right)\); par conséquent si \(a=1\), \(A\) n'est pas inversible.

Indications pour l'évaluation :

• 4 points pour "la matrice \(A\) est inversible pour tout \(a\) différent de 1 et de -2"

• 4 points pour l'expression de \(A^{-1}\)

• 2 points pour "la matrice \(A\) n'est pas inversible pour \(a=1\) et pour \(a=-2\)"