Réduction de matrice
Durée : 15 mn
Note maximale : 20
Question
Réduire la matrice \(A=\left(\begin{array}{c c c}1&3&6&-1\\1&4&5&1\\1&5&5&3\end{array}\right)\), c'est-à-dire trouver, en utilisant une démarche algorithmique, un entier \(r\), des matrices \(P\) et \(Q\), produits de matrices élémentaires tels que :
\(1\le r\le3,\quad P\in\mathcal M_3(R),\quad Q\in\mathcal M_4(R),\quad PAQ=\left(\begin{array}{c c c}I_r&O_{r,4-r}\\O_{3-r,r}&O_{3-r,4-r}\end{array}\right)=N\)
On ne demande pas les valeurs explicites de \(P\) et \(Q\).
Solution
On utilise la démarche algorithmique exposée dans le cours.
Donc
l'entier \(r=3\) (5pts),
la matrice \(P=T_{3,2}(-2)T_{3,1}(-1)T_{2,1}(-1)\) (7pts)
la matrice \(Q=T_{1,2}(-3)T_{1,3}(-6)T_{1,4}(1)T_{2,3}(1)T_{2,4}(-2)\) (8pts)
conviennent.