Cas d'une matrice carrée d'ordre 2. Etude de deux méthodes
Partie
On considère la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}a&b\\0&a\end{array}\right)}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels quelconques.
Question
Calculer \(A^2\), puis \(A^3\).
Aide méthodologique
Le calcul de \(A^2\) et \(A^3\) permet de deviner la formule générale, on achève la démonstration par récurrence en prouvant que si cette formule est vraie au rang \(n\) alors elle est vraie au rang \(n+1\).
Solution détaillée
\(\displaystyle{A^2=\left(\begin{array}{c c c}a&b\\0&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}a&b\\0&a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a^2&2ab\\0&a^2\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{A^3=\left(\begin{array}{c c c}a^2&2ab\\0&a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}a&b\\0&a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a^3&3a^2b\\0&a^3\end{array}\right)}\)
Question
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\) entier strictement positif.
Aide à la lecture
La lecture du texte suggère un raisonnement par récurrence .
Solution détaillée
Les résultats obtenus à la question précédente amènent à conjecturer que : \(\forall n\in\mathbb N^*\quad\displaystyle{A^n=\left(\begin{array}{c c c}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\right)}\)
Cette égalité étant vraie pour \(n=1\), pour achever le raisonnement par récurrence, il reste à démontrer que la propriété est héréditaire, c'est-à-dire que si elle est vraie pour l'entier \(n\) alors elle est vraie pour l'entier suivant \(n+1\).
Supposons que \(\displaystyle{A^n=\left(\begin{array}{c c c}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\right)}\), on a alors : \(\displaystyle{A^{n+1}=A^nA=\left(\begin{array}{c c c}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}a&b\\0&a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a^{n+1}&na^nb+a^nb\\0&a^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a^{n+1}&(n+1)a^nb\\0&a^{n+1}\end{array}\right)}\)
L'égalité est donc vraie pour l'entier \(n+1\). On a démontré par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb N^*\quad\displaystyle{A^n=\left(\begin{array}{c c c}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\right)}\)
Question
En remarquant qu'il existe une matrice \(N\) telle que \(A=aI+bN\), retrouver le résultat précédent en utilisant la formule du binôme de Newton.
Aide méthodologique
Les matrices \(aI\) et \(bN\) commutent, on peut donc utiliser la formule du binôme de Newton pour le développement de \((aI+bN)^*\).
Formule du binôme de Newton dans \(M_n(K)\)
Calcul de \((A+B)^m\) lorsque \(AB=BA\)
Soient deux éléments \(A\) et \(B\) de \(M_n(K)\) qui commutent c'est-à-dire tels que \(AB=BA\). Alors, pour tout entier naturel \(m\) supérieur ou égal à 1, on a la formule \((A+B)^m=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m}}C_m^kA^{m-k}B^k\) où \(C_m^k\) désigne le coefficient du binôme.
Solution détaillée
La matrice A peut s'écrire : \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}a&0\\0&a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}0&b\\0&0\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c c c}0&1\\0&0\end{array}\right)}\)
Soit \(\displaystyle{N=\left(\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\end{array}\right)}\), on calcule \(N^2\) : \(\displaystyle{N^2=\left(\begin{array}{c c c}0&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&1\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}0&0\\0&0\end{array}\right)}\)
La matrice \(N\) est donc nilpotente.
La matrice \(A\) peut donc s'écrire \(A=aI+bN\), avec \(N^2=0\).
La matrice unité \(I\) commute avec toutes les matrices, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton au calcul de \((aI+bN)^n\).
De plus \(N^2\) étant égale à la matrice nulle, on a : \((bN)^2=b^2N^2=0\).
Donc, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, \((bN)^p=0\).
On en déduit que pour tout entier n strictement positif, \((aI+bN)^n=(aI)^n+n(aI)^{n-1}(bN)=a^nI+na^{n-1}bN\) d'où : \(\displaystyle{A^n=a^n\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)+na^{n-1}b\left(\begin{array}{c c c}0&1\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\right)}\).