Sous-espaces vectoriel de matrices - bases [Structures de Mn, p(K)]

Sous-espaces vectoriel de matrices - bases

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Question

On considère le sous-ensemble $E$ de l'espace vectoriel $F$ des matrices (3,3) à coefficients réels, formé des matrices :

$M(a,b)=\left[\begin{array}{c c c}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{array}\right]$ où $a$ et $b$ sont des réels quelconques.

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

En donner une base.

Solution

$E$ n'est pas vide, $M_1=\left[\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$ et $M_2=\left[\begin{array}{c c c}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right]$ sont éléments de $E$ .

De plus $M(a,b)=aM_1+bM_2$ donc $E$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de $M_1$ et $M_2$ c'est-à-dire le sous-espace vectoriel de $F$ engendré par $M_1$ et $M_2$ .

$E$ est donc un sous-espace vectoriel de $F$ .

On vérifie facilement que $M_1$ et $M_2$ sont linéairement indépendants,

c'est-à-dire que $\alpha M_1+\beta M_2=0\Rightarrow\alpha=\beta=0$ .

On a déjà vu qu'ils engendrent $E$ .

Conclusion : $M_1$ et $M_2$ forment une base de $E$ .