Sous-espaces vectoriel de matrices - bases

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Question

On considère le sous-ensemble \(E\) de l'espace vectoriel \(F\) des matrices (3,3) à coefficients réels, formé des matrices :

\(M(a,b)=\left[\begin{array}{c c c}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{array}\right]\)\(a\) et \(b\) sont des réels quelconques.

Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).

En donner une base.

Solution

\(E\) n'est pas vide, \(M_1=\left[\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) et \(M_2=\left[\begin{array}{c c c}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right]\) sont éléments de \(E\).

De plus \(M(a,b)=aM_1+bM_2\) donc \(E\) est l'ensemble des combinaisons linéaires de \(M_1\) et \(M_2\) c'est-à-dire le sous-espace vectoriel de \(F\) engendré par \(M_1\) et \(M_2\).

\(E\) est donc un sous-espace vectoriel de \(F\).

On vérifie facilement que \(M_1\) et \(M_2\) sont linéairement indépendants,

c'est-à-dire que \(\alpha M_1+\beta M_2=0\Rightarrow\alpha=\beta=0\).

On a déjà vu qu'ils engendrent \(E\).

Conclusion : \(M_1\) et \(M_2\) forment une base de \(E\).